Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Temos que a componente quase-homogênea é
X qh (x, y) =
{
ẋ = −y
ẏ = x 3 .
Neste último exemplo, a componente quase-homogênea é um centro e depois de um “blowup”quase-homogêneo
não encontramos singularidades em {r = 0}.
Os termos de “ordem
superior”irão decidir se lidaremos com um centro ou com um foco atrator (ou repulsor). No
Diagrama de Newton podemos também ver o tipo (α, β) da componente quase-homogênea
definida por γ k . Ela corresponde às coordenadas relativamente primas do vetor ortogonal à
face γ k .
Como a origem é uma singularidade isolada, temos ao menos que um dos pontos (0, s) ou
(1, s) é um elemento de S e também (r, 1) ou (r, 0) é um elemento de S para algum r. Então
sempre existe uma face γ 1 no Diagrama de Newton.
Suponhamos que γ 1 tem equação αr + βs = d, com mdc(α, β) = 1. Para um primeiro passo
no processo de desingularização, usamos um “blow up” quase-homogêneo de grau (α, β).
Denotemos X qh = ∑ j≥dX j com X j (x, y) = (p j (x, y), q j (x, y)) a componente quase-homogênea
do tipo (α, β) e grau (quase-homogêneo) j, isto é,
p j (r α x, r β y) = r j+α p j (x, y) e q j (r α x, r β y) = r j+β q j (x, y).
Dividimos depois por r d . Na prática, primeiro fazemos o blow-up no eixo-x positivo do
campo de vetores resultando, depois de multiplicarmos o resultado por α¯x −d ,
⎧
⎪⎨
˙¯x = ∑
¯X + x δ≥d
:
⎪⎩
˙ȳ = ∑ δ≥d
¯x δ+1−d p δ (1, ȳ)
¯x δ−d (αq δ (1, ȳ) − βȳp δ (1, ȳ)) .
Determinamos as singularidades na linha {¯x = 0}.
(1) Se αq d (1, ȳ) − βȳp d (1, ȳ) ≠ 0, os pontos (0, ȳ 0 ) satisfazendo a equação αq d (1, ȳ) −
βȳp d (1, ȳ) = 0 são singularidades isoladas de ¯x na linha {¯x = 0}, para as quais
JX x +(0, ȳ 0 ) =
(
pd (1, ȳ 0 ) 0
determinando imediatamente os autovalores na diagonal.
∗
α ∂q d
∂ȳ (1, ȳ 0) − β(p d (1, ȳ 0 )) + ȳ 0
∂p d
∂ȳ (1, ȳ 0)
)
No caso das singularidades serem
hiperbólicas, aplicamos o Teorema de Grobman-Hartman. No caso delas serem semi-hiperbólicas,
temos que determinar o comportamento através da variedade central. No caso delas serem não
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