Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

utilizando a invariância do fluxo, resulta em
f(u) =
n∑
a i u i + o(u n ),
i=2
onde a i é o coeficiente de u i na expressão −[q(u, f(u)) − f ′ (u)p(u, f(u))]/λ 2 . Isto resulta no
comportamento
˙u = c m u m + o(u m ).
Usando estas informações a origem será
(i) um nó estável se c m < 0, m ímpar e λ 2 < 0,
(ii) um nó instável se c m > 0, m ímpar e λ 2 > 0,
(iii) uma sela-nó se m é par,
(iv) uma sela se c m > 0, m ímpar e λ 2 < 0 ou c m < 0, m ímpar e λ 2 > 0.
Se a singularidade é uma sela-nó ou uma sela, então ele pode calcular uma aproximação de
Taylor para as variedades instável e estável.
No caso dos dois autovalores serem nulos, o ponto (x 0 , y 0 ) é não elementar. Para estudar
o campo de vetores próximo a singularidade, ele desingulariza a singularidade fazendo um
“blow-up”quase-homogêneo.
O algorítimo da desingularização consiste na construção de uma lista S de singularidades
elementares, junto com a variedade invariante, no “blow-up locus”que será ordenado no sentido
anti-horário. Cada elemento de S é da forma
[[T 1 , ..., T m ], x, y, Y, sep, type],
onde (x, y) é uma singularidade elementar no “blow-up locus”, Y é o campo de vetores após
o “blow-up”. A variável m é o número de “níveis de desingularização” que ele precisará e
T 1 , ..., T m são as transformações, isto é, T i é da forma (x, y) ↦→ (c 1 x d 1
y d 2
+ x i−1 , c 2 x d 3
y d 4
+ y i−1 ),
com (x i−1 , y i−1 ) a singularidade não elementar no “nível de desingularização”i − 1. A variedade
sep é a aproximação de Taylor da variedade invariante e type é o tipo da singularidade que
temos (ver figura 5.1)
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