Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

e
⎧
⎨
⎩
x = −1
z α 2
y = z 1
z β 2
.
Para estes dois campos de vetores é necessário somente determinar quando o ponto (0, 0) é uma
singularidade ou não, desde que os outros tenham sido estudados nas duas primeiras cartas.
Neste estágio pode-se já desenhar uma grande parte do retrato de fase do campo de vetores.
Primeiro desenha-se as separatrizes invariantes da seguinte maneira. No caso das singularidades
serem uma sela ou uma sela-nó, utiliza-se a aproximação de Taylor da variedade invariante até
encontrar-se a fronteira de um círculo de raio ɛ, para um certo ɛ ≥ 0. A partir deste ponto,
integra-se as separatrizes com o método de Runge-Kutta de ordens 7 e 8. Para prevenir um
“overflow”numérico na aproximação de Taylor, normaliza-se os campos de vetores (5.1) e (5.3)
antes de calcular a aproximação de Taylor como segue.
Seja a o maior coeficiente em valor absoluto do campo de vetores. Reescalona-se o tempo de
tal forma que este coeficiente se torne igual a 1000.sign(a). No começo da integração numérica
das separatrizes tem-se um erro que vem da aproximação de Taylor. Tomamos ɛ = 0, 01 e uma
ordem de aproximação n = 6. Então tem-se um erro de ordem 10 −14 . Para o programa ter
certeza que este erro não é tão grande, faz-se um teste para decidir quando a aproximação de
Taylor “aproxima-se”da variedade invariante real ou não. Seja f(t) a aproximação de Taylor
da variedade invariante, que é tangente a linha v = 0. Suponha que t 2 1 + f(t 1 ) 2 = ɛ 2 e considere
o ponto (ih, f(ih)), ( i = ) 1, ..., 100, com h = t 1 /100. Considere o ângulo α i = arctg( f(ih)) ˙
e β i = arctg ˙v(ih,f(ih))
, i = 1, ..., 100. Se ‖α
˙u(ih,f(ih))
i − β i ‖ < 10 −18 , ∀i = 1, ..., 100, aceita-se a
aproximação de Taylor, caso contrário, calcula-se a aproximação de Taylor de uma ordem
maior e faz-se o teste outra vez. Tomamos por ordem máxima n = 20. Neste caso, o erro
é de ordem 10 −42 . Este teste funciona muito bem para as variedades estável e instável, mas
para a variedade central pode falhar as vezes, especialmente se o autovalor não nulo, em valor
absoluto, é grande.
Se a singularidade é não elementar, dividi-se o ponto em diversas singularidades elementares.
Para cada um destes pontos desenha-se a variedade invariante (que corresponde a uma separatriz
da singularidade não elementar) como segue. Primeiro utiliza-se a aproximação de Taylor
na carta do “blow-up”que corresponde a singularidade elementar, a uma distância ɛ da singularidade.
Então estende-se a separatriz nesta carta por integração numérica, a uma distância 1
da singularidade. Depois estende-se, por integração numérica, para o plano real. O número de
passos tem que ser decidido de um modo interativo pelo usuário.
Para prevenir um “overflow”numérico quando o programa tiver integrando o campo de
vetores, nem sempre integra-se o campo de vetores no plano real e projeta-se na Esfera de
Pincaré, ele utiliza cartas diferentes para cobrir a Esfera de Poincaré, como segue. Seja (X, Y, Z)
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