Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Um campo de vetores X = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) é chamado de quase-homogêneo do tipo (α, β) e
grau k + 1 se f 1 é quase-homogênea do tipo (α, β) e grau k + α e f 2 é quase-homogênea do tipo
(α, β) e grau k + β.
Exemplo 3.5. O campo de vetores
{
ẋ = x 2 − 2xy
ẏ = y 2 − xy
é quase-homogênea do tipo (1, 1) e grau 2.
De fato, da definição anterior temos que f 1 (x, y) = x 2 − 2xy e f 2 (x, y) = y 2 − xy.
Daí,
f 1 (rx, ry) = r 2 x 2 − 2r 2 xy = r 2 (x 2 − 2xy) = r 2 f 1 (x, y)
é uma função quase-homogênea do tipo (1, 1) e grau 2.
Agora,
f 2 (rx, ry) = r 2 y 2 − r 2 xy = r 2 (y 2 − xy) = r 2 f 2 (x, y)
também é uma função quase-homogênea do tipo (1, 1) e grau 2.
Logo, o campo de vetores X é quase-homogêneo do tipo (1, 1) e grau 2.
Exemplo 3.6. O campo de vetores {
ẋ = y
ẏ = x 2
é quase-homogêneo do tipo (2, 3) e grau 2.
De fato, da definição anterior temos que f 1 (x, y) = y e f 2 (x, y) = x 2 .
Assim,
f 1 (rx, ry) = r 3 y = r 3 f 1 (x, y)
é uma função quase-homogênea do tipo (2, 3) e grau 3.
E,
f 2 (rx, ry) = (r 2 x) 2 = r 4 x 2 = r 4 f 2 (x, y)
também é uma função quase-homogênea do tipo (2, 3), mas de grau 4.
Logo, o campo de vetores X é quase-homogêneo do tipo (2, 3) e grau 2.
No caso quase-homogêneo do tipo (α, β) tentaremos o seguinte “blow-up”:
Ψ : S 1 × R → R 2
((¯x, ȳ), r) ↦→ (r α¯x, r β ȳ)
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