Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Consideremos o problema de Cauchy
{
ẋ = −y 2α−1
ẏ = x 2β−1
com x(0) = 1 e y(0) = 0 e chamemos as soluções (analíticas) Csθ e Snθ, isto é,
{
d
dθ Csθ = −Sn2α−1 θ
d
Snθ = dθ Cs2β−1 θ
com Cs(0) = 1 e Sn(0) = 0.
Claramente,
βSn 2α θ + αCs 2β θ = α.
De fato, {
Daí temos que
dy
dx =
ẋ = −y 2α−1
ẏ = x 2β−1
Integrando de ambos os lados, obtemos
x 2β
2β + c 1 = − y2α
2α + c 2 ⇒ x2β
β
⇒
{
dx
= dt −y2α−1
dy
= .
dt x2β−1
x2β−1
−y 2α−1 ⇒ x2β−1 dx = −y 2α−1 dy.
+
y2α
α = c ⇒ αx2β + βy 2α = c.
Como x(0) = 0 e y(0) = 1, temos que c = α. Logo, temos a igualdade.
Temos também que Cs e Sn são periódicas, já que parametrizam os níveis de f(x, y) =
αx 2β + βy 2α . Usamos então a “quase-coordenada polar”
{
x = r α Csθ
y = r β Snθ .
Exemplo 3.7. No caso {
ẋ = y
ẏ = x 2
usamos (x = r 2 Csθ, y = r 3 Snθ) com 3Sn 4 θ + 2Cs 6 θ = 2, e vamos ver o que encontramos
(depois de dividirmos por r).
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