Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

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utilizando a invariância do fluxo, resulta em f(u) = n∑ a i u i + o(u n ), i=2 onde a i é o coeficiente de u i na expressão −[q(u, f(u)) − f ′ (u)p(u, f(u))]/λ 2 . Isto resulta no comportamento ˙u = c m u m + o(u m ). Usando estas informações a origem será (i) um nó estável se c m < 0, m ímpar e λ 2 < 0, (ii) um nó instável se c m > 0, m ímpar e λ 2 > 0, (iii) uma sela-nó se m é par, (iv) uma sela se c m > 0, m ímpar e λ 2 < 0 ou c m < 0, m ímpar e λ 2 > 0. Se a singularidade é uma sela-nó ou uma sela, então ele pode calcular uma aproximação de Taylor para as variedades instável e estável. No caso dos dois autovalores serem nulos, o ponto (x 0 , y 0 ) é não elementar. Para estudar o campo de vetores próximo a singularidade, ele desingulariza a singularidade fazendo um “blow-up”quase-homogêneo. O algorítimo da desingularização consiste na construção de uma lista S de singularidades elementares, junto com a variedade invariante, no “blow-up locus”que será ordenado no sentido anti-horário. Cada elemento de S é da forma [[T 1 , ..., T m ], x, y, Y, sep, type], onde (x, y) é uma singularidade elementar no “blow-up locus”, Y é o campo de vetores após o “blow-up”. A variável m é o número de “níveis de desingularização” que ele precisará e T 1 , ..., T m são as transformações, isto é, T i é da forma (x, y) ↦→ (c 1 x d 1 y d 2 + x i−1 , c 2 x d 3 y d 4 + y i−1 ), com (x i−1 , y i−1 ) a singularidade não elementar no “nível de desingularização”i − 1. A variedade sep é a aproximação de Taylor da variedade invariante e type é o tipo da singularidade que temos (ver figura 5.1) 102
Figura 5.1: diferentes tipos de singularidades no “blow-up locus”. Na seguinte construção usaremos “Gosub” seguida por um número romano, significando que primeiramente ele elaborará o procedimento indicado pelo número romano, depois continuará com a próxima linha. A construção de S é como segue: I. Entre com o campo de vetores X com uma singularidade não elementar (x 0 , y 0 ). • Se (x 0 , y 0 ) ≠ (0, 0) então considere a transformação ¯x = x − x 0 , ȳ = y − y 0 . • Determine o Diagrama de Newton e γ 1 : αr + βs = d, com mdc(α, β) = 1. • Seja N p = 0, l = 1 e T 1 : (x, y) ↦→ (x α + x 0 , x β y + y 0 ). • Faça um “blow-up”na direção do eixo-x positivo. Resultando em um campo de vetores Y . • Gosub II • Seja N n = 0, l = 1 e T 1 : (x, y) ↦→ (−x α + x 0 , x β y + y 0 ). • Faça um “blow-up”na direção do eixo-x negativo. Resultando em um campo de vetores Y . • Gosub III • Se γ 1 está completamente no semi-plano {r ≥ 0}, então - Seja T : (x, y) ↦→ (xy α + x 0 , y β + y 0 ). - Faça um “blow-up”na direção do eixo-y positivo. Resultando em um campo de vetores Y com (0, 0) uma singularidade elementar. Da mesma maneira como em II construa a lista V = [[T ], 0, 0, Y, sep, type]. - Seja T : (x, y) ↦→ (xy α + x 0 , −y β + y 0 ). - Faça um “blow-up”na direção do eixo-y negativo. Resultando em um campo de vetores Y com (0, 0) uma singularidade elementar. Da mesma maneira como em II construa a lista V = [[T ], 0, 0, Y, sep, type]. - S = [W, L p 1, ..., L n N p , V, L p 1, ..., L n N n ]. 103
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Campos de Vetores Polinomiais Plana
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Agradecimentos Ao Prof. Dr. Paulo R
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Abstract In this work we present ba
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Referências Bibliográficas 115 12
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mas logo nos convencemos da complex
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então, para 0 < a < r M que e t 0
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1.2 Primeiros Exemplos: Campos de V
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Figura 1.4: α = β < 0, α < β <
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(ii) Se [A] B = [ λ 1 0 λ ] , ent
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Se β < 0 o campo de vetores é do
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1.6 Conjuntos α-limites e ω-limit
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Como τ é contínua, temos que lim
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Suponha que o campo X possua um nú
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e E U = [{u j , v j }/a j > 0] isto
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Portanto, temos que x(t) = e λ 1t
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Temos que o primeiro valor é dado
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espectivamente. Pode ser mostrado q
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Definição 2.5. Uma singularidade
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