Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Z
y
(x,y)
x
(X,Y,Z)
Y
X
(X`,Y`,Z`)
Figura 4.3: Projeção Central do hemisfério superior de S 2 sobre o plano (x, y).
Essas equações estabelecem uma correspondência biunívoca entre os pontos (X, Y, Z) do
hemisfério superior de S 2 , onde Z > 0, e os pontos (x, y) do plano.
A origem (0, 0) ∈ R 2 corresponde ao polo norte (0, 0, 1) ∈ S 2 ; pontos no círculo x 2 + y 2 = 1
correspondem a pontos no círculo X 2 + Y 2 = 1 onde Z = √ 1 2 2
; e os pontos no infinito do R 2
correspondem aos pontos no equador de S 2 .
Figura 4.4: Secção da Esfera.
Quaisquer dois pontos antípodas (X, Y, Z) e (X ′ , Y ′ , Z ′ ) pertencentes a S 2 , que não estão
no equador, correspondem ao mesmo ponto (x, y) ∈ R 2 . É por essa razão que consideramos
quaisquer dois pontos antípodas no equador de S 2 como sendo oriundos do mesmo ponto no
infinito.
Consideremos um fluxo definido por um sistema dinâmico em R 2
{
ẋ = p(x, y)
(4.2)
ẏ = q(x, y)
onde p e q são funções polinomiais de x e y.
Seja m o grau máximo de p e q. Esse sistema pode ser escrito como uma equação diferencial
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