Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Logo, temos
{ ˙¯x = −¯x 2 − ȳ¯x 2 + 2ȳ¯x
˙ȳ = ȳ¯x + ȳ 2¯x − ȳ 2 .
Vamos analisar as singularidades. Para ˙¯x = 0, temos
¯x(−¯x − ȳ¯x + 2ȳ) = 0 ⇒ ¯x = 0 ou − ¯x − ȳ¯x + 2ȳ = 0.
Tomando −¯x − ȳ¯x + 2ȳ = 0 obtemos a seguinte relação: ¯x = 2ȳ . Se substituirmos este valor
1+ȳ
de ¯x em ˙ȳ = 0 obteremos que ȳ = −1 e este valor não pode ser substituido em ¯x. Portanto o
único valor que podemos tomar para ¯x é zero. Dai, temos que ȳ = 0.
Logo, a única singularidade é (0, 0). Assim,
JX(0, 0) =
e os autovalores são λ 2 − 0 = 0 o que implica em λ = 0. Mostrando que a singularidade não é
elementar.
O 2-jato é agora
[
0 0
0 0
]
{ ˙¯x = −¯x 2 + 2¯xȳ
˙ȳ = ¯x¯− ȳ 2 .
Como vimos (exemplo anterior), esta singularidade pode ser estudada com um “blow-up”polar.
A sucessão de “blow-ups”é a seguinte:
Figura 3.3: retrato de fase no plano (¯x, ȳ).
A figura 3.3 representa o retrato de fase no plano (¯x, ȳ) após o “blow-up”polar.
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