Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Como x = r 2 Csθ e y = r 3 Snθ, temos que
{
ẋ = 2rṙCsθ + r 2 (−Sn 3 θ) ˙θ
ẏ = 3r 2 ṙSnθ + r 3 Cs 5 θ ˙θ
.
Agora, substituindo estes valores de ẋ e ẏ que acabamos de encontrar nos valores que tinhamos
antes, já substituindo (x, y) por (r 2 Csθ, r 3 Snθ), obtemos o seguinte sistema
Vamos encontrar ṙ e ˙θ.
{
r 3 Snθ = 2rṙCsθ − r 2 Sn 3 θ ˙θ
r 4 Cs 2 θ = 3r 2 ṙSnθ + r 3 Cs 5 θ ˙θ .
Para encontrarmos ṙ multiplicamos a primeira equação acima por
rCs 5 θ e a segunda por Sn 3 θ. Já para encontrarmos ˙θ multiplicamos a primeira equação por
−3rSnθ e a segunda equação por 2Csθ. Fazendo isso temos o seguinte sistema
{
ṙ = 1 2 r2 SnθCs 2 θ(Cs 3 θ + Sn 2 θ)
˙θ = r ( − 3 2 Sn2 θ + Cs 3 θ ) .
Dividindo ambas as equações por r, obtemos a relação
{
ṙ = 1 2 rSnθCs2 θ(Cs 3 θ + Sn 2 θ)
˙θ = Cs 3 θ − 3 2 Sn2 θ
.
Encontramos, é claro, o mesmo retrato que anteriormente. O método não é necessariamente
um melhoramento; ele definitivamente será no próximo exemplo.
Exemplo 3.8. Consideremos o campo de vetores
ele é quase-homogêneo do tipo (1, 2) e grau 2.
{
ẋ = −y
ẏ = x 3
Usando agora (x = rCsθ, y = r 2 Snθ) com 2Sn 2 θ + Cs 4 θ = 1 e
{
d
Csθ = −Snθ
dθ
d
Snθ = dθ Cs3 θ
com Cs(0) = 1 e Sn(0) = 0, vamos encontrar qual será a redução do campo.
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