Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Isto resulta no campo de vetores (depois de multiplicar o resultado por z d−1
2 )
⎧
⎨
⎩
(
ẋ = z2(−z d 1 p
(
ẏ = −z2 d+ p
1
z 2
, z 1
1
z 2
, z 1
(
z 2
)) + q
z 2
))
1
z 2
, z 1
com d o grau do campo de vetores. Suponha que q d (1, z 1 ) − z 1 p d (1, z 1 ) ≢ 0. O ponto (z 1 , 0)
que satisfaz q d (1, z 1 ) − z 1 p d (1, z 1 ) = 0 são as singularidades no infinito de X. Estes pontos são
estudados da mesma forma que nos casos finitos. No caso que q d (1, z 1 )−z 1 p d (1, z 1 ) ≡ 0, a linha
no infinito é uma linha de singularidades. Para estudar as singularidades no infinito dividi-se
o campo de vetores por z 2 , e estuda-se este campo de vetores perto da linha z 2 = 0.
z 2
))
Depois transforma-se o campo de vetores usando a transformação
{
x = z 1
z 2
y = 1 z 2
.
Com isso obtem-se o campo de vetores (depois de multiplicar o resultado por z d−1
2 )
⎧
⎨
⎩
z˙
1 = z2(−z d 1 p
z˙
2 = −z2 d+ q
(
z 1
z 2
, 1 z 2
)) + q
(
z 1
z 2
, 1 z 2
))
(
z 1
z 2
, 1 z 2
))
Falta somente determinar quando (0, 0) é uma singularidade ou não, desde que as outras tenham
sido estudadas nas primeiras cartas.
Se existe uma singularidade no infinito que é não elementar, é melhor, as vezes, estudar o
campo de vetores em um Disco de Poincaré-Lyapunov de algum grau (α, β), isto é, usar uma
transformação da forma
⎧
⎪⎨
⎪ ⎩
x = cosθ
.
r α
y = senθ
r β
para o estudo “no infinito”, que resulta (depois de multiplicar o resultado por r c )
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ṙ = −r c+1∑ δ≤cr −δ (cosθp δ (cosθ, senθ) + senθq δ (cosθ, senθ))
˙θ = r c∑ δ≤cr −δ (−βsenθp δ (cosθ, senθ) + αcosθq δ (cosθ, senθ)
(5.4)
com {
ẋ = p δ (x, y)
ẏ = q δ (x, y)
a componente quase-homogênea do tipo (α, β) e grau quase-homogêneo δ; c é escolhido de
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