Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

(ii) Se [A] B =
[
λ 1
0 λ
]
, então o fluxo de (1.1) é dado por
ϕ : R × R 2 → R 2
ϕ(t, (x, y)) = ((x + yt)e λt , ye λt ).
Se λ < 0, a única singularidade (0, 0) é chamada de nó impróprio atrator:
Figura 1.6: campo x = y = 1, λ = −1 x = y = −1, λ = −1
Se λ > 0, a única singularidade (0, 0) é chamada de nó impróprio repulsor:
Figura 1.7: campo x = y = 1, λ = 1 x = y = −1, λ = 1
[ ]
α −β
(iii) Vamos analisar o caso [A] =
.
β α
Vamos utilizar coordenadas polares para encontrarmos explicitamente o fluxo. Começamos
com a mudança x = rcosθ e y = rsenθ.
Assim temos
x = rcosθ ⇒ ẋ = ṙcosθ − r ˙θsenθ
y = rsenθ ⇒ ẏ = ṙsenθ + r ˙θcosθ.
(1.2)
Multiplicando a primeira linha por (cosθ) e a segunda por (senθ) e em seguida somando as
duas linhas obtemos
ẋcosθ + ẏsenθ = ṙ. (1.3)
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