Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Definição 2.11. A origem é chamada de foco estável para (2.5) se existe δ > 0 tal que para
0 < r 0 < δ e δ 0 ∈ R, r(t, r 0 , θ 0 ) → 0 e |θ(t, r 0 , θ 0 )| → ∞ quando t → ∞. É chamado foco
instável se r(t, r 0 , θ 0 ) → 0 e |θ(t, r 0 , θ 0 )| → ∞ quando t → −∞. Qualquer trajetória de (2.5)
que satisfaz r(t) → 0 e |θ(t)| → ∞ quando t → ±∞ é dita espiral na direção da origem quando
t → ±∞.
(0,0)
Figura 2.6: foco estável para (2.5).
Definição 2.12. A origem é chamada de nó estável para (2.5) se existe δ > 0 tal que para
0 < r 0 < δ e δ 0 ∈ R, r(t, r 0 , θ 0 ) → 0 quando t → ∞ e lim
t→∞
θ(t, r 0 , θ 0 ) existe; isto é, cada
trajetória em uma dada vizinhança da origem se aproxima da origem ao longo de uma tangente
bem definida quando t → ∞. A origem é chamada nó instável se 0 < r 0 < δ e δ 0 ∈ R,
r(t, r 0 , θ 0 ) → 0 quando t → −∞ e lim θ(t, r 0, θ 0 ) existe para qualquer r 0 ∈ (0, δ) e θ 0 ∈ R.
t→−∞
A origem é chamada de nó próprio para (2.5) se é um nó e se todo raio através da origem é
tangente a alguma trajetória de (2.5).
Figura 2.7: nó estavel para (2.5).
Definição 2.13. A origem é uma sela topológica para (2.5) se existirem duas trajetórias γ 1 e
γ 2 que se aproxima de (0, 0) quando t → ∞ e duas trajetórias γ 3 e γ 4 que se aproximam de
(0, 0) quando t → −∞ e se existir um δ > 0 tal que qualquer outra trajetória que comece numa
vizinhança determinada da origem N δ (0, 0) − {(0, 0)} afasta-se de N δ (0, 0) quando t → ±∞.
As trajetórias γ i , i = 1, ..., 4 são chamadas de separatrizes.
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