Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Assim as soluções de p(λ) = 0 podem ser: duas raízes reais e distintas, λ 1 , λ 2 ; uma raiz real
dupla λ ou um par complexo conjugado α + iβ, α − iβ.
No primeiro caso dizemos que λ 1 , λ 2 são auto-valores e podemos encontrar uma base B do
plano formada por autovetores de tal forma que
[A] B =
[
]
λ 1 0
.
0 λ 2
No segundo caso temos duas possibilidades. Se a multiplicidade geométrica de λ for igual a 2
então podemos encontrar uma base B do plano formado por autovetores de tal forma que
[A] B =
[
Se a multiplicidade geométrica de λ for igual a 1 então podemos encontrar uma base B do
λ 0
0 λ
plano formada por vetores ⃗u e ⃗v obtidos da seguinte maneira
]
.
A⃗u = λ⃗u
A⃗v = ⃗u + λ⃗v.
A matriz de A nesta base é:
[A] B =
[
λ 1
0 λ
]
.
No terceiro caso encontramos um vetor de C 2 satisfazendo A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv). Além
disso B = {u, v} é uma base do plano satisfazendo
[A] B =
Considerando o sistema [ (1.1), ] tem-se então os seguintes casos possíveis.
λ 1 0
(i) Se [A] B =
, então o fluxo de (1.1) é dado por
0 λ 2
[
α
β
−β
α
ϕ : R × R 2 → R 2
]
.
ϕ(t, (x, y)) = (xe λ 1t , ye λ 2t ).
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