2. Wirkungsquerschnitte und Streulängen - Liss, Klaus-Dieter

54 TRANSFERMATRIZEN UND TAKAGI-TAUPINDas Indexfeld n G r ist ein Skalarfeldund beschreibt die Lage derGitterebenen. Dabei werden letztereder Reihe nach durchnumeriert.n G r steigt zwischen benachbartenEbenen um 1 an und ist an denOrtskoordinaten jeder Ebene ganzzahlig.Z. B. wächst bei einem ungestörtenKristallgitter n G r linear inRichtung des Normalenvektors zuden Ebenen. Abbildung (30) verdeutlichtdiesen Sachverhalt füreinen Gradientenkristall.Numerierung nG r654321r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6Lage r der GitterebenenAbbildung (30):Das von Taupin eingeführte Indexfeld n G r ändert sichörtlich so, daß es an den Gitterebenen ganzzahlig istund von Ebene zu Ebene anwächst.Entwickelt man das KristallpotentialV r =∑GVG exp i 2 π n G r(189)mit den ungestörten Fourierkomponenten (57) nach dieser Periodizität, setzt es zusammen mitder Wellenfunktion (185) in die Schrödingergleichung (53) ein, so erhält man das Takagi-Taupin-Grundgleichungssystemund-i 2 k-i 2 k∂u G∂x G= V 0E u G + V G E u 0 – α u G + ik 2 u G ∆Φ G (190)∂u 0∂x 0= V 0E u 0 + V G E u G + ik 2 u 0 ∆Φ 0 (191)worin x 0 und x G die Koordinaten von r in dem aus vorwärtsgebeugter Richtung S 0 und abgebeugterRichtung S G aufgespannten, schiefwinkligen Koordinatensystem darstellen:r = x 0 S 0 + x G S G (192)Die Abweichung α von der geometrischen Braggposition ist wie gehabt durch (68) definiert.In der Arbeit von Taupin wurde gezeigt, daß die Ausdrücke mit den Laplaceoperatoren in(190) und (191) bei kleinen Gittervariationen gegen den Rest vernachlässigbar sind. DasDifferentialgleichungssystem läßt sich, hier für den absorptionsfreien Fall, mit A (65), y (66),b (67), X (63) und