pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

88 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines
Die Formulierung (4.6) ist der Ausgangspunkt für die Tensorprodukt-Approximation
bei unregelmäßig verteilten Daten. Dort hat man 1
2˜z − ˜ B(τ 1 , τ 2 ) vec (A) 2 2 → min, wobei
˜zi (i = 1, . . . , M) die Datenwerte und ˜ B(τ 1, τ 2 ) ∈ RM,n1n2 die B-Spline-Matrix bezeichnet.
Dieser Fall wurde erstmals von [HH74] untersucht. Im Gegensatz zum Problem mit Daten
auf Rechteckgittern zerfällt dieses Problem nicht. Außerdem tritt hier die Rangdefizienz von
˜B bei praktischen Beispielen sehr oft auf und es gibt keinen simplen Test wie die Schoenberg-
Whitney-Bedingung. Um die Untersuchungen auf Splines mit freien Knoten auszudehnen,
müssen wir also regularisieren. Obwohl sich die theoretischen Ergebnisse dann sicherlich
übertragen lassen, haben wir den Fall der Tensorprodukt-Glättung durch Splines mit freien
Knoten bei unregelmäßig verteilten Daten nicht näher untersucht, da schon die Lösung der
linearen Probleme zu festen Knoten nicht zerfällt und demzufolge teuer ist.
4.1.2 Vollständiges und reduziertes Approximationsproblem
Unserer allgemeinen Zielstellung gemäß beziehen wir jetzt die Knoten des Splines in den
Optimierungsprozeß ein. Betrachtet man im Problem (4.5a) eine Teilmenge (t 1 , t 2 ) der
inneren Knoten als variabel, so erhält man das vollständige Approximationsproblem
(4.8)
f(t 1 , t 2 , A) := 1
Z − B1(t
2
1 )AB2(t 2 ) T 2 F
mit linearen Nebenbedingungen der Form
(4.9)
C1t 1 − h 1 ≥ 0, C2t 2 − h 2 ≥ 0.
→ min
t 1 ,t 2 ,A
Die Nebenbedingungen verhindern dabei wie im univariaten Fall das Zusammenfallen der
Knoten.
Durch Einsetzen der Normallösung (4.7a) in das Funktional f erhält man das reduzierte
Approximationsproblem
(4.10) f(t 1 , t 2 ) := 1
2
Z − B1(t 1 )B1(t 1 ) + Z B2(t 2 ) + T B2(t 2 ) T
2
F
→ min
t 1 ,t 2
mit den linearen Ungleichheitsnebenbedingungen (4.9). Durch Umformung erhalten wir
f(t 1 , t 2 ) = 1
Z − PB1ZPB22 F
2
mit den orthogonalen Projektoren PB1 := B1(t 1 )B1(t 1 ) + und PB2 := B2(t 2 )B2(t 2 ) + .
4.1.3 Vollständiges und reduziertes Glättungsproblem
Betrachtet man im Problem (4.5b) eine Teilmenge (t 1 , t 2 ) der inneren Knoten als variabel,
so erhält man das vollständige Glättungsproblem
(4.11) f(t 1 , t 2 , A) := 1
2
Z 0
0 0
−
B1(τ 1 )
√ µ1S 1 r1 (τ 1 )
mit den linearen Ungleichheitsnebenbedingungen (4.9).
A
B2(τ 2 )
√ µ2S 2 r2 (τ 2 )
T 2
F
→ min
t 1 ,t 2 ,A