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3.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems 73
also
P
B =
õS
B
√ µSr
N N T −1 R˜ T
RN ˜ N T
B
√ µSr
Wir berechnen nun die QR-Faktorisierung von ˜ RN mittels Householder-Transformationen.
Man beachte, daß ˜ RN ∈ R n,n−nact als Produkt einer oberen Dreiecksmatrix und einer i. allg.
vollbesetzten Nullraumbasis vollbesetzt ist.
Q T 2
˜RN =
R2
0
, Q2 ∈ R n,n , R2 ∈ R n−nact,n−nact
Damit erhalten wir NT R˜ T RN ˜ = RT 2 R2 und schließlich
N N T −1 R˜ T
RN ˜ N T = ˜ R −1
R2
Q2
= ˜ R −1 Q2
T
.
reguläre obere Dreiecksmatrix
R
0
−1
2 R
−T T
2 R2 |0
Q
[I|0]
T 2 ˜ R −T
⎡
⎣ I
0
I 0
0 0
Lemma 3.7 (Berechnung des Projektors P
B
õS N ).
⎤
⎦
Q T 2 ˜ R −T .
Seien B ∈ Rm,n und Sr ∈ Rn−r,n gegebene Matrizen, so daß
B
√
µSr
∈ Rm+n−r,n für
µ > 0 und m ≥ r Vollrang n besitzt. Ferner seien die folgenden QR-Faktorisierungen
bekannt
Q T 0 B =
R0
0
, Q˜ T R0
√
µSr
˜R
=
0
, Q T
R2
˜RN
2 =
0
wobei N ∈ Rn,n−nact spaltenregulär sei. Dann gilt für beliebiges v ∈ Rm+n−r P ⊥
B
B v = Im+n−r − √ ˜R
√µS N µSr
−1
I 0
Q2 Q
0 0
T 2 ˜ R −T
B
√
µSr
Berechnung der Kaufman-Approximation
Zusammenfassend können wir den Algorithmus zur spaltenweisen Berechnung der Kaufman-
Approximation JK für die Jacobi-Matrix F ′ (t) angeben:
T
v.