pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

3.3 Restringierte semi-lineare Quadratmittelprobleme 59
bei
(3.14) Ct − h ≥ 0,
wobei F(t) := y − B(t)α(t) und α(t) löst
Subproblem (A)
(3.15)
bei
(3.16)
1
2 y − B(t)α2 −→ min
α∈R n
Dp(t)
−Dp(t)
L
α −
−U
≥ 0.
Es sei bemerkt, daß das vollständige Problem (3.11), (3.12) nicht die allgemeine Form eines
restringierten semi-linearen Quadratmittelproblems darstellt, da z.B. die Gleichheitsrestriktionen
fehlen. Aus Gründen der Vereinfachung der Notation beschränken wir uns jedoch auf
diesen benötigten Spezialfall.
In den nächsten Abschnitten werden wir die Frage behandeln, wann der Übergang vom
vollständigen zum reduzierten Problem zulässig ist, und wie Kenntnisse über die Struktur
von Subproblem (A) bei der effektiven Lösung des reduzierten Problems angewendet werden
können. Die Darstellung im Rest des Abschnittes folgt weitgehend dem Vorgehen in [Par85].
Da die Ergebnisse dieser PhD Thesis nicht allgemein bekannt zu sein scheinen und die dort
eingeführten Bezeichnungen im weiteren noch intensiv verwendet werden, geben wir die
Hauptergebnisse dieser Arbeit hier an.
3.3.2 Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem
Das folgende Theorem [Par85, Theorem 4.7] zeigt, unter welchen Voraussetzungen der Übergang
vom vollständigem zum reduzierten Problem berechtigt ist, und in welcher Beziehung
die Lösungen der beiden Probleme stehen. Es sichert, daß der Wechsel keine kritischen
Punkte hinzufügt und daß die Lösung des Originalproblems nicht ausgeschlossen wird.
Theorem 3.1 (Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem). 1. Die Funktion
f sei zweimal stetig differenzierbar bez. α, ihr Gradient ∇αf sei stetig differenzierbar
bez. t.
2. Jede Nebenbedingung sei stetig differenzierbar bez. ihrer Argumente.
3. Für jedes t habe das Subproblem (A) eine Lösung α(t), so daß
(a) die hinreichenden Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für ein lokales Minimum
von Subproblem (A) an der Stelle α(t) gelten,
(b) die Gradienten bez. α für die aktiven Nebenbedingungen von Subproblem (A) an
der Stelle α(t) linear unabhängig sind,
(c) strikte Komplementarität für Subproblem (A) an der Stelle α(t) gilt.
Dann gilt für das vollständige und das reduzierte Problem