pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems 39
freien Knoten. Formeln zur Berechnung der Jacobi-Matrix F ′ oder der Kaufman-Approximation
JK im Fall der Spline-Glättung erhält man, indem man die Größen {B(t), y} in
(2.25), (2.26) bzw. (2.29) durch das Paar
B(t)
√ µSr(t)
y
,
0
ersetzt. Im Fall der Kaufman-Approximation erhalten wir
+
Im
B B
B
JKs := −
− √ √ ∂ √
In−r µSr µSr
µSr
[s]
B
√ µSr
+ y
0
für alle s ∈ R l . Die Matrixfunktionen sind dabei jeweils an der Stelle t zu berechnen. Wir
berechnen die Kaufman-Approximation JK ∈ R m+n−r,l spaltenweise, d. h. JKe κ ∈ R m+n−r
(κ = 1, . . . , l), e κ ∈ R l – Einheitsvektor.
Betrachten wir zunächst die Matrizen, welche Ableitungen bez. der freien Knoten ent-
halten
∂
B(t)
√ µSr(t)
[e κ +
B(t) y
] √
µSr(t) 0
=:α(t)
= ∂
B(t)
√ µSr(t)
Ableitung der Beobachtungsmatrix nach den freien Knoten
Offensichtlich gilt
∂
B(t)
√ µSr(t)
[e κ
]α(t) =
i=1,...,m
⎛
⎝
n
j=1
∂Bj,k,τ (xi)
∂τ p(κ)
αj
⎞
⎠
i=1,...,m
[e κ ]α(t).
∂s(xi)
=
,
∂τp(κ) i=1,...,m
d. h. wir können mittels Lemma 2.9 die ersten m Komponenten berechnen. Wegen ∂s(xi)
∂τ p(κ) = 0
für xi ≤ τ p(κ)−k+1 oder xi ≥ τ p(κ)+k−1 und der Struktur der Ableitung (2.37) ist dies auf
sehr effiziente Weise möglich.
Ableitung der Glättungsmatrix nach den freien Knoten
Für die letzten n − r Komponenten benötigen wir die Ableitung der Glättungsmatrix
Sr(t) = Fr(t)Dr(t). Es gilt ∂Sr = (∂Fr)Dr + Fr(∂Dr). Während ∂Fr = ∂ ˜ Fr im Fall der
approximierten Glättungsmatrix einfach berechnet werden kann, erscheint es sehr schwierig,
∂Fr = ∂ ¯ Fr im Fall der exakten Glättungsmatrix anzugeben ( ¯ Fr – Cholesky-Faktor der
Gramschen Matrix von B-Splines der Ordnung k − r). In diesem Fall können Methoden des
automatischen Differenzierens angewendet werden.
Wir wollen zunächst die Fréchet-Ableitung der Matrixfunktion Dr(.) bez. der freien
Knoten t bestimmen, siehe Lemma 2.3 zur Definition von Dr. Offensichtlich gilt Hν =
Hν(t), ∂Lν = 0 (ν = 1, . . . , r). Für ∂Dr ∈ L R l , L (R n , R n−r ) hat man
∂D0 = 0, ∂D1 = (∂H1) L1, ∂D2 = (∂H2) L2D1 + H2L2 (∂D1) .
Allgemein zeigt man leicht durch vollständige Induktion
0 für r = 0,
∂Dr =
(∂Hr) LrDr−1 + HrLr (∂Dr−1) für r ≥ 1.