pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

des Glättungsfunktionals an Stelle des Quadratmittelfehlers konnte jedoch erstmalig die
Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem unabhängig von den Knoten gezeigt
werden. Unter Benutzung eines verallgemeinerten Gauß-Newton-Verfahrens werden sowohl
die linearen Nebenbedingungen, welche das Zusammenfallen von Knoten verhindern, direkt
behandelt als auch die Quadratmittelstruktur ausgenutzt. In der ganzen Arbeit haben wir
großen Wert auf die Verwendung numerisch stabiler Orthogonalisierungstechniken gelegt,
welche eine weitestgehende Ausnutzung der Schwachbesetztheit gestatten. Gegenüber den
in [SS95] veröffentlichten Ergebnissen aus Kapitel 2 wurden noch wesentliche algorithmische
Verbesserungen (exakte Ableitungen) und eine durchgängige Darstellung erreicht.
Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Minimierung von (1.4) unter Nebenbedingungen der
Form
l (p)
i ≤ s(p) (x) ≤ u (p)
i
für alle x ∈ [τi, τi+1), i = k, . . . , n
mit festem p ∈ {0, . . . , q}. In diesem Kapitel sehen wir den Hauptbeitrag der Dissertation.
Uns sind bisher keine Arbeiten bekannt, die sich mit der direkten Minimierung des
Schoenberg-Funktionals (oder des Quadratmittelfehlers) als Funktion der freien Knoten unter
Nebenbedingungen an Ableitungen befassen. Die aus den separablen Quadratmittelproblemen
bekannte Kaufman-Approximation wird auf den restringierten Fall verallgemeinert.
Ein Verfahren für restringierte semi-lineare Quadratmittelprobleme mit dieser Approximation
wird entwickelt und numerisch getestet. Die Hauptergebnisse aus Kapitel 3 wurden in
[SS97] veröffentlicht, die Aussagen zur Strukturausnutzung bei der Berechnung der Jacobi-
Matrix werden hier vertieft und ergänzt.
In Kapitel 4 wird schließlich die Problemstellung auf die bivariate Approximation von
Daten auf Rechteckgittern durch Tensorprodukt-Splines verallgemeinert, zunächst ohne die
Betrachtung von Nebenbedingungen an Ableitungen. Diese Verallgemeinerung ebenso wie
die auf den Fall von Tensorprodukt-Splines mit unregelmäßig verteilten Daten kann ohne
Probleme durchgeführt werden, sofern man einen separablen Glättungsterm benutzt.
Eine naheliegende weitere Aufgabenstellung wäre nun die Quadratmittelapproximation
durch Tensorprodukt-Splines mit freien Knoten und Ungleichheitsnebenbedingungen an Ableitungen.
Im Gegensatz zu den bisher beschriebenen Fällen sind hier selbst Untersuchungen
zu Splines mit festen Knoten noch nicht in der Literatur vorhanden. Kapitel 5 enthält Anregungen
zur Behandlung dieses Problems und faßt die erreichten Ergebnisse der Dissertation
zusammen. Wir möchten anmerken, daß selbst im Fall einer erfolgreichen theoretischen Behandlung
der bivariaten restringierten Approximation mit freien Knoten eine erfolgreiche
numerische Behandlung des Problems schwierig und teuer ist, da die auftretenden linearen
Probleme nicht mehr zerfallen.
Jedes der Kapitel 2 bis 4 hat die folgende Struktur: Nachdem wir zur Einordnung unserer
Methode einen Überblick über existierende bzw. ähnliche Verfahren in der Literatur
gegeben haben, widmen wir uns der Formulierung des vollständigen Problems in Abhängigkeit
von den Knoten und Koeffizienten. Danach stellen wir die benötigten Resultate für
allgemeine Quadratmittelprobleme dieser speziellen Struktur zusammen, d. h. unabhängig
vom Kontext der Splineapproximation. Anschließend wenden wir diese Ergebnisse auf den
Fall der Splineapproximation an. Die Entwicklung eines Algorithmus zur numerischen Lösung
des reduzierten Problems unter Ausnutzung der Schwachbesetztheitsstruktur stellt
jeweils einen Schwerpunkt der Kapitel dar. Abschließend wird unser Verfahren ausgiebig an
Beispielen aus der Literatur und selbstkonstruierten Beispielen getestet.
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