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54 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
Zumindest für kleine k − p lassen sich – in der Regel nichtlineare – notwendige und
hinreichende Bedingungen für die Positivität der Polynome der Ordnung k − p in den Teilintervallen
angeben. Damit läßt sich in diesen Fällen das semiinfinite direkt in ein finites
Optimierungsproblem überführen.
Um die Lösung des semiinfiniten Optimierungsproblems zu vermeiden, verwenden wir
statt der notwendigen und hinreichenden Bedingung (3.3) die – wegen der Nichtnegativität
der B-Splines β p(x, t) – hinreichende Bedingung α (p) = Dp(t)α ≥ 0. Wir erhalten daher
die für die Positivität hinreichende Nebenbedingung
(3.4) Dp(t)α ≥ 0.
Wir betrachten jetzt eine feste Knotenfolge τ . Da das Funktional (3.1) unter der Voraussetzung
m ≥ r und µ > 0 streng konvex ist, sind sowohl das semiinfinite Problem (3.3) als
auch das finite Problem (3.4) eindeutig lösbar. Die Optimallösung α f des finiten Problems
ist wegen Bj,k−p,τ (x) ≥ 0 zulässig für das semiinfinite Problem. Falls k − p ≤ 2, so stimmen
die Lösungen der beiden Probleme überein, α f = α if . Allgemein kann man feststellen, daß
α if durch α f desto besser approximiert wird, je feiner die Knotenfolge τ ist.
Hinreichende Nebenbedingungen der obigen Form werden von einer Reihe von Autoren
verwendet, z.B. untersuchen Cox und Jones [CJ87] das Problem min{y − Bα1 : α (p) =
Dpα ≥ 0, α ∈ R n }. Andere Autoren, z.B. [WD95], bevorzugen notwendige und hinreichende
Bedingungen, haben dann allerdings numerische Schwierigkeiten, da selbst die Probleme
zu festen Knoten nichtlinear werden. Unsere numerischen Erfahrungen zeigen, daß die hinreichenden
Bedingungen bei sorgfältiger Wahl der Splineknoten durchaus gute Ergebnisse
liefern, d. h. daß sie nicht zu einschränkend sind. Im Zweifelsfall können die mit hinreichenden
Nebenbedingungen berechneten Splines als sehr guter Startpunkt für Algorithmen mit
notwendigen und hinreichenden Bedingungen genutzt werden.
Man beachte, daß die Form der hinreichenden Nebenbedingungen für das weitere Vorgehen
wesentlich ist, genauer gesagt, benötigen wir Nebenbedingungen, welche bei festen
Knoten τ linear in den Splinekoeffizienten α sind.
Einfache Schranken für die Ableitung des Splines
Oftmals wird neben der unteren Schranke Null an s (p) gleichzeitig eine obere Schranke
vorgegeben, z.B. um eine allzu große Krümmung des Splines zu verhindern, oder es werden
auf verschiedenen Intervallen verschiedene „shape constraints“ vorgegeben, z.B. konvexkonkaver
Datenabgleich (siehe [SS90]).
Allgemeiner fordern wir daher nun
(3.5) l (p)
i ≤ s(p) (x) ≤ u (p)
i ∀x ∈ [ti, ti+1), i = k, . . . , n
mit 2(n − k + 1) Konstanten
l :=
l (p)
k
, . . . , l(p)
n
T
∈ R n−k+1
, u :=
u (p)
k
T , . . . , u(p) n
Da die B-Splines eine nichtnegative Partition der Eins bilden, gilt
min
: j ∈ Ki ≤ s (p) (x) =
≤ max
α (p)
j
j∈Ki
Bj,k−p(x)α (p)
j
∈ R n−k+1 .
α (p)
j
: j ∈ Ki