pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

3.2 Problemformulierung 53
nes mit freien Knoten keine existierenden Verfahren bekannt, welche direkt das Schoenberg-
Funktional oder den Quadratmittelfehler als Funktion der freien Knoten minimieren. Es existiert
lediglich das „heuristische“ Verfahren CONCON aus der FITPACK-Bibliothek [Die87],
bei welchem durch schrittweises Einfügen von Knoten eine „optimale“ Plazierung der Knoten
erreicht wird. Bei den numerischen Tests werden wir unser Verfahren zur Knotenbestimmung
mit dieser adaptiven Strategie vergleichen.
Betrachtet man Algorithmen zur Knotenreduktion bei restringierten Splines, so stehen
etwa Verfahren von Arge et.al. [ADLM90] und Schumaker/Stanley [SS96] zur Auswahl,
letzteres allerdings nur für quadratische Splines.
3.2 Problemformulierung
3.2.1 Glättungsfunktional und Anordnungsnebenbedingungen
Nach den Vorarbeiten im letzten Kapitel können wir das Glättungsfunktional und die Anordnungsnebenbedingungen
an die freien Knoten unmittelbar formulieren.
Für die Splineknoten τ gelte τj < τj+k−q, j = q + 1, . . . , n und r ∈ {0, . . . , q}. Wir
betrachten das Optimierungsproblem
(3.1) f(α, t) := 1
2
y
0
−
B(t)
√ µSr(t)
α
unter den Anordnungsnebenbedingungen an die freien Knoten
(3.2) Ct − h ≥ 0
und weiteren Nebenbedingungen an Ableitungen des Splines.
3.2.2 Nebenbedingungen an Ableitungen
2
→ min
α,t
Eine in der Einleitung formulierte Forderung an die Funktion s war die Formerhaltung. Zu
diesem Zweck drücken wir jetzt Nebenbedingungen an Ableitungen des Splines mittels der
Splineknoten und der Splinekoeffizienten aus.
Die Knotenfolge τ erfülle die Bedingung (2.7). Es gelte p ∈ {0, . . . , q}. Dann existiert
s (p) und besitzt die Matrixdarstellung
s (p) (x) = β T p (x, τ )Dp(τ )α = β T p (x, t)Dp(t)α.
Damit sind wir in der Lage, die Nebenbedingung, welche den „shape“ des Splines charakterisiert,
zu formulieren. Wir betrachten zunächst die Positivitätsforderung an s (p) im ganzen
Intervall [a, b].
Positivitätsforderung an die Ableitung des Splines
(3.3)
s (p) (x) ≥ 0
β T p (x, t)Dp(t)α ≥ 0 ∀x ∈ [tk, tn+1]
Die Nebenbedingung (3.3) an die p-te Ableitung des Splines ergibt zusammen mit der
Anordnungsbedingung (3.2) für die freien Knoten und dem zu minimierenden Funktional
(3.1) ein semiinfinites Optimierungsproblem.