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2.4 Splineglättung mit freien Knoten 27
2.3.5 Separable Quadratmittelprobleme mit Nebenbedingungen
Bisher wurde die Zulässigkeit des Übergangs vom Ausgangs- zum reduzierten Problem lediglich
für den unrestringierten Fall (2.17) nachgewiesen. Kaufman zeigte, daß diese Reduktion
ebenfalls für separable Quadratmittelprobleme mit linearen Ungleichheitsnebenbedingungen
an die nichtlinearen Variablen t zulässig ist.
Theorem 2.2 (Kaufman, zitiert nach [Par85, S. 41f], siehe auch [GP76]).
Ein Problem der Form
min f(α, t) := 1
2 y − B(t)α2 : Ct ≥ h , α ∈ R n , t ∈ R l
ist äquivalent zu
min f(t) := 1
2
I − B(t)B(t) + y 2 = 1
P
2
⊥
B(t)y
gefolgt von der Rücksubstitution α = B(t) + y.
2
: Ct ≥ h , t ∈ R l
Die Aussage des Satzes ist anschaulich klar, da die variable Projektion bezüglich der
linearen Variablen α erfolgt und nicht bezüglich der restringierten nichtlinearen Variablen
t. Eine exakte Formulierung der Äquivalenz im Sinne von Theorem 2.1 folgt außerdem aus
der allgemeineren Aussage [Par85, Theorem 4.7], siehe Theorem 3.1.
2.4 Splineglättung mit freien Knoten
In diesem Abschnitt wollen wir die beschriebene Reduktionstechnik auf die Splineapproximation
durch Splines mit freien Knoten anwenden. Offensichtlich bleiben die Aussagen
des letzten Abschnitts richtig, wenn man die beliebigen Vektoren, Matrizen und Matrixfunktionen
durch die speziellen Bezeichnungen des vollständigen Approximationsproblems
FAP ersetzt. Wir erhalten das reduzierte Approximationsproblem (reduced approximation
problem, RAP):
Reduziertes Approximationsproblem
(2.30) min f(t) := 1
2
I − B(t)B(t) + y 2 = 1
2F(t)2 : Ct ≥ h , t ∈ R l
Zu den Aussagen für das vollständige Glättungsproblem FSP (2.16) gelangt man, indem
man die Größen {B(t), y} durch das Paar
B(t)
√ µSr(t)
y
,
0
ersetzt. Man erhält damit das reduzierte Glättungsproblem (reduced smoothing problem,
RSP):