pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

58 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
3.2.4 Vollständiges restringiertes Glättungsproblem
Abschließend können wir das vollständige Problem der Splineglättung durch Splines mit
freien Knoten unter Nebenbedingungen an Ableitungen formulieren.
Definition 3.2 (Vollständiges restringiertes Glättungsproblem). Für die Splineknoten τ
gelte τj < τj+k−q, j = q + 1, . . . , n, und p, r ∈ {0, . . . , q}. Das Optimierungsproblem
(3.9)
bei
(3.10)
f(α, t) := 1
2
y
0
−
B(t)
√ µSr(t)
α
Ct − h ≥ 0 und L ≤ Dp(t)α ≤ U
2
→ min
α,t
heißt vollständiges restringiertes Glättungsproblem (full constrained smoothing problem, FCSP).
Die auftretenden Vektoren, Matrizen und Matrixfunktionen haben die folgenden Dimensionen:
y ∈ R m ; α ∈ R n ; t ∈ R l ; h ∈ R ncstr ; L, U ∈ R n−p ; C ∈ R ncstr,l ; B(.) : t ∈ R l →
B(t) ∈ R m,n ; Sr(.) : t ∈ R l → Sr(t) ∈ R n−r,n ; Dp(.) : t ∈ R l → Dp(t) ∈ R n−p,n .
3.3 Restringierte semi-lineare Quadratmittelprobleme
3.3.1 Vollständiges und reduziertes Problem
Das Problem FCSP ist ein nichtlineares Quadratmittelproblem, wobei die Variable α stets
linear auftritt. In diesem Abschnitt betrachten wir allgemeine Probleme solchen Typs und
beginnen mit dem vollständigen Problem.
Vollständiges Problem
(3.11) f(α, t) := 1
2 F(α, t)2 = 1
2 y − B(t)α2 −→ min
α∈R n ,t∈R l
bei
(3.12) Ct − h ≥ 0 und
Dp(t)
−Dp(t)
L
α −
−U
≥ 0.
Hierbei sind B und Dp beliebige glatte Matrixfunktionen und die verbleibenden Größen y,
h, L, U, C konstante Vektoren und Matrizen.
Wenn die Variable t im Problem (3.11), (3.12) festgehalten wird, so erhalten wir ein
lineares Quadratmittelproblem in α, welches wir als Subproblem (A) bezeichnen und dessen
Lösung α(t) sei. Durch Ersetzen der Variable α im vollständigen Problem durch ihren Optimalwert
α(t) erhält man ein reduziertes Problem in der Variable t. Diese Reduktionstechnik
ist eine Verallgemeinerung der Methode der variablen Projektion von Golub/Pereyra im
unrestringierten Fall. Wir nennen Probleme solchen Typs nach Parks [Par85] restringierte
semi-lineare Quadratmittelprobleme und definieren die folgenden verwandten Optimierungsprobleme:
Reduziertes Problem
(3.13) f(t) := 1
2 F(t)2 = 1
2 y − B(t)α(t)2 −→ min
t∈R l