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70 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
3.5.1 Die Lösung von Subproblem (A)
Die Lösung von Subproblem (A)
1
(3.21) min
2 y − Bα2 + µ 1
2 Srα 2 : L ≤ Dpα ≤ U, α ∈ R n
ist wesentlich zur Berechnung der Residuumsfunktion des reduzierten Problems. Die Methode
zur Lösung dieses Problems ist ausführlich in [SK93] dargelegt. Wir beschreiben kurz
die wesentlichen Schritte: Zunächst wird unter Benutzung der QR-Faktorisierungen
Q T
R0
0 B = , Q0 ∈ R m,m , R0 ∈ R n,n (3.22)
obere Dreiecksmatrix
(3.23)
˜Q T
R0
√ µSr
0
˜R
=
0
, ˜ Q ∈ R 2n−r,2n−r , ˜ R ∈ R n,n obere Dreiecksmatrix
das Problem (3.21) äquivalent in das Problem
1
min
2 ˜c − ˜ Rα 2 + 1
2 ˜ d 2 + 1
2 d2 : L ≤ Dpα ≤ U, α ∈ R n
transformiert, siehe Abschnitt 2.5.2. Durch Einführung der neuen Variablen
⎡
⎤ ⎛ ⎞
⎢
β := Tpα = ⎢
⎣
Dp
0 Ip
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎦ ⎝
α1
.
αn−p
αn−p+1
Tp ∈ Rn,n reguläre obere Dreiecksmatrix, wird das Problem in ein Problem mit einfachen
Schranken überführt
1
(3.24) min
2 ˜c − ˜ RT −1
p β 2 + 1
2 ˜ d 2 + 1
2 d2 : ˜
L ≤ β ≤ Ũ, β ∈ Rn ,
wobei die Schranken L, U geeignet ergänzt werden. Man beachte, daß die transformierte
Matrix ˜ RT −1
p ∈ R n,n zwar obere Dreiecksform, aber keine Bandgestalt mehr hat.
Das Problem (3.24) wird schließlich mit dem Algorithmus BLS aus [Bjö96] gelöst, einer
aktiven Mengenstrategie, welche speziell für den Fall von einfachen Schranken geeignet ist.
Wir bemerken, daß die Bandgestalt lediglich im letzten Schritt zerstört wird, welcher jedoch
nur noch von der Dimension n ist – im Gegensatz zu einer naiven Anwendung einer aktiven
Mengenstrategie auf die Ausgangsformulierung (3.21), welche von der Dimension m + n − r
ist.
3.5.2 Die Berechnung der Jacobi-Matrix
Wir benutzen die Kaufman-Approximation an die Jacobi-Matrix, welche sich wesentlich
einfacher berechnen läßt als die exakte Jacobi-Matrix (Golub/Pereyra-Modell). Im Fall der
.
αn
⎟ ,
⎟
⎠