pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

4.2 Separable Quadratmittelprobleme mit Tensorprodukt-Struktur 89
Setzt man hier die Normallösung (4.7b) in das Funktional ein, so erhält man das reduzierte
Glättungsproblem
(4.12) f(t 1 , t 2 ) := 1
2
Z 0
0 0
− P
Z 0
B
õS 1 0 0
P
B
õS 2
2
F
→ min
t 1 ,t 2
mit den Nebenbedingungen (4.9). Die orthogonalen Projektoren sind definiert als
P
B
õS 1 :=
P
B
õS 2 :=
B1(τ 1 )
√ µ1S 1 r1 (τ 1 )
B2(τ 2 )
√ µ2S 2 r2 (τ 2 )
B1(τ 1 )
√ µ1S 1 r1 (τ 1 )
B2(τ 2 )
√ µ2S 2 r2 (τ 2 )
Unser Ziel für den Rest des Kapitels ist der Nachweis der Äquivalenz zwischen vollständigem
und reduziertem Problem sowie die Entwicklung eines Algorithmus zur Lösung
des reduzierten Problems. Besonders interessiert uns dabei, ob die entstehenden Probleme
zerfallen und wie sich die Techniken aus dem univariaten Fall nutzen lassen. Man beachte,
daß eine vollständige Lokalisierung mittels Tensorprodukt-Splines prinzipbedingt nicht
möglich ist, z. B. kann man Peaks oder diagonal verlaufende Wellenfronten nur schlecht
approximieren. Einen Ausweg aus dieser Situation bieten Splines auf Triangulationen, gekrümmte
Knotenlinien oder die Verwendung von hierarchischen B-Splines [Kra94]. Trotz
dieser Nachteile haben Tensorprodukt-Splines auch heute noch eine weite Verbreitung in
der Praxis (Fahrzeugbau, CAGD-Systeme), da sie einfach zu handhaben und billig zu berechnen
sind, sofern die Knotenlinien einmal bestimmt sind.
Während es im univariaten Fall eine große Auswahl an Algorithmen zur direkten Minimierung
des Quadratmittelfehlers als Funktion der freien Knoten gab, sind uns im bivariaten
Tensorprodukt-Fall keine solchen Algorithmen bekannt. In [Die93] berichtet der Autor lediglich
über einen Algorithmus aus der unveröffentlichten PhD-Thesis [Die79], welcher wie
im Univariaten auf der Lösung eines Barriereproblems mittels CG-Verfahren beruht. Beschränkt
man sich auf das heuristische, adaptive Einfügen von Knotenlinien, so steht der
Algorithmus REGRID aus [Die89] zur Verfügung. Im Fall der Chebyshev-Approximation von
Funktionen wurden in [MNW96] kürzlich erste Ergebnisse erzielt.
4.2 Separable Quadratmittelprobleme mit Tensorprodukt-
Struktur
In diesem Abschnitt lösen wir uns vom Problem der Approximation durch Splines und
betrachten allgemeine Probleme der Form
Vollständiges Problem
(4.13) f(t 1 , t 2 , A) := 1
2 F(t1 , t 2 , A) 2
F
→ min
t 1 ,t 2 ,A
+
+
.
mit F(t 1 , t 2 , A) := Z − B1(t 1 )AB2(t 2 ) T unter den Nebenbedingungen
(4.14) C1t 1 − h 1 ≥ 0, C2t 2 − h 2 ≥ 0.