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96 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines
Dann besitzt das reduzierte Glättungsproblem (4.12), (4.9) eine Lösung (t 1∗ , t 2∗ ).
Wir erhalten ferner die Glattheit des reduzierten Funktionals und durch Anwendung
von Theorem 4.1 die Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Glättungsproblem.
Theorem 4.3 (Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem).
Sei (t 1∗ , t 2∗ ) eine zulässige Knotenfolge, d. h.
(t 1∗ , t 2∗ ) ∈
(t 1 , t 2 ) ∈ R l1 l2 × R : C1t 1 − h 1 ≥ 0, C2t 2 − h 2
≥ 0 .
Für feste r1 ∈ {0, . . . , q1}, 0 ≤ q1 < k1 und r2 ∈ {0, . . . , q2}, 0 ≤ q2 < k2 gelte:
(V 1) Die Knoten erfüllen die Bedingung τ 1
j1
τ 2
j2+k2−q2 (j2 = q2 + 1, . . . , n2).
< τ 1
j1+k1−q1 (j1 = q1 + 1, . . . , n1) und τ 2
j2 <
(V 2) Die Regularitätsbedingung m1 ≥ r1, µ1 > 0 und m2 ≥ r2, µ2 > 0 ist erfüllt.
(V 3) Die freien Knoten (t 1∗ , t 2∗ ) sind einfache Knoten. Es gilt k1 ≥ 3 und k2 ≥ 3.
Dann gelten für das vollständige Glättungsproblem (4.11), (4.9) und das reduzierte Glättungsproblem
(4.12), (4.9) die Beziehungen: Die reduzierte Funktion F ist glatt im zulässigen
Bereich (t 1 , t 2 ) ∈ R l1 × R l2 : C1t 1 − h 1 ≥ 0, C1t 1 − h 1 ≥ 0 .
(a) Wenn (t 1∗ , t 2∗ ) ein kritischer Punkt (oder eine globale Minimumstelle) von (4.12),
(4.9) ist und A ∗ erfüllt (4.7b) an der Stelle (t 1∗ , t 2∗ ), so ist (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) ein kritischer
Punkt (oder eine globale Minimumstelle) von (4.11), (4.9) und es gilt f(t 1∗ , t 2∗ ) =
f(t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ).
(b) Wenn (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) eine globale Minimumstelle von (4.11), (4.9) ist, so ist (t 1∗ , t 2∗ )
globale Minimumstelle von (4.12), (4.9). Es gilt f(t 1∗ , t 2∗ ) = f(t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) sowie
(4.7b).
Die Aussagen der letzten beiden Sätzen sind nach den univariaten Vorbetrachtungen
nicht sonderlich überraschend. Man beachte jedoch, daß der konkreten Gestalt von Gradient
und Jacobi-Matrix aus Abschnitt 4.2 eine mindestens ebenso große praktische Bedeutung
zukommt.
Die Aussagen gelten sinngemäß auch im Fall der Approximation von unregelmäßig verteilten
Daten durch Tensorprodukt-B-Splines. In diesem Fall muß man jedoch glätten, um
die Differenzierbarkeit des reduzierten Funktionals zu sichern. In [HH74] und anderen Arbeiten
findet man Beispiele aus realen Anwendungen, die zeigen, daß die Vollrangeigenschaft
von ˜ B(t 1 , t 2 ) nicht erfüllt ist. Durch die in der Literatur beschriebenen Techniken kann
zwar eine eindeutige Lösung zu festen Knoten bestimmt werden, dies sichert jedoch nicht
den konstanten Rang für alle zulässigen Knoten.
4.4 Numerische Lösung des reduzierten Problems
Nachdem wir die Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem im Sinne von
Theorem 4.3 gezeigt haben, widmen wir uns nun der numerischen Lösung des reduzierten
Problems. Das reduzierte Problem ist wiederum ein nichtlineares Quadratmittelproblem,