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72 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
Es gilt R R¯ T ⊥ = R (Q12), d. h. N := Q12 ∈ Rn,n−nact ist die gesuchte Nullraummatrix.
Die Matrix ¯ RT enthält in jeder Spalte p + 1 Nichtnullelemente, allerdings (abhängig von
der Indexmenge I) in ungeordneter Weise. Da die Matrix L = RT 1 (bis auf Vorzeichen)
der Dreiecksfaktor der Cholesky-Faktorisierung von ¯ R ¯ RT ist, können wir x = ¯ R + v =
¯R T RT 1 R1
−1 v über die Methode der Semi-Normalgleichungen berechnen.
Algorithmus 3.1 (Berechnung von x = ¯ R + v und N, Semi-Normalgleichungen).S1: Berechne QR-Faktorisierung
mittels Householder-Transformationen
T Q11 ¯R T
R1
= , ¯ T n,nact
R ∈ R
0
Q T 12
Speichere den regulären oberen Dreiecksfaktor R1 ∈ R nact,nact
S2: Setze N := Q12 ∈ R n,n−nact (Basis des Nullraumes von ¯ R)
S3: Für jede rechte Seite v ∈ R nact
S3.1: Löse R T 1 R1w = v; w ∈ R nact
S3.2: Bilde x := ¯ R T w ∈ R n
Bei den Semi-Normalgleichungen muß zusätzlich zu den ohnehin benötigten Größen N
und R1 nur die schwach besetzte Originalmatrix ¯ R T an Stelle von Q11 gespeichert werden.
Für überbestimmte Systeme wird in [Bjö87] gezeigt, daß der Fehler der berechneten
Lösung bei der Methode der Semi-Normalgleichungen ebenfalls vom Quadrat der Konditionszahl
abhängt, obwohl der berechnete Dreiecksfaktor von „besserer“ Qualität als der
Dreiecksfaktor der Normalgleichungen ist. Bei der von Saunders [Sau72] vorgeschlagenen
Methode der Semi-Normalgleichungen für das Minimum-Norm-Problem tritt dieser Effekt
nicht auf. In [Pai73] wurde gezeigt, daß „the bound on the error in x is proportional to κu
rather than κ 2 u as has often been thought“ (κ-Konditionszahl, u-Maschinengenauigkeit),
siehe [Hig96] für eine ausführliche Diskussion dieser Problematik.
Berechnung des Projektors P
B
õS N
Abschließend betrachten wir die Berechnung des orthogonalen Projektors (3.27). Es sei
bemerkt, daß der übliche Weg – nämlich die Bildung von
B
õS
N und anschließende or-
thogonale Faktorisierung – in diesem speziellen Fall sehr ineffizient ist, da die Bandstruktur
von B und Sr zerstört wird. An Stelle dessen benutzen wir die zwei orthogonalen Zerlegungen
(3.22) und (3.23), welche bereits bei der Lösung von Subproblem (A) berechnet wurden
und die Bandstruktur erhalten.
Für spaltenreguläre Matrizen A gilt A + = A T A −1 A T . Wir erhalten daher
B
√ µSr
+
N = N T
B
√ µSr
Unter Benutzung von (3.22) und (3.23) gilt
B
√ µSr
T
T
B
√ µSr
B
√ µSr
= ˜ R T R,
˜
−1 N N T
B
√ µSr
T
.