pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

62 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
Lemma 3.2 (Gradient und Hesse-Matrix des reduzierten Funktionals).
∇tf = ∇tf(α(t), t) + Γ T u
∇ 2 tf = ∇ 2
tl − ∇ 2 tαl | ¯ Γ T ∇2
¯
αl RT −1
∇2 αtl ¯R 0 ¯Γ
= ∂α T | I ∇2 αl ∇2 tαl ∇2 αtl ∇2t l
∂α
I
Die Größen auf der rechten Seite werden an der Stelle (α(t), t) berechnet.
Dieses Lemma zeigt auch, warum der Fall von gemischten Nebenbedingungen zusätzliche
Schwierigkeiten bereitet. Bei Fehlen dieser Nebenbedingungen hat man ∇tf(t) =
∇tf(α(t), t), d. h. die Berechnung des Gradienten ändert sich nicht.
Für die Hesse-Matrix von l erhalten wir in unserem Spezialfall
mit
∇ 2 αl = B T B ∈ R n,n
∇ 2 tαl = −J T t B + K T ∈ R l,n
Jt := ∂F = −∂Bα ∈ R m,l
K := −∂B T (y − Bα) + ∂R T u ∈ R n,l
∇ 2 αtl = −B T Jt + K ∈ R n,l
∇ 2 tl = J T t Jt + St ∈ R l,l
St := u T ∂ 2 Rα − ∂ 2 Bα T (y − Bα) ∈ R l,l .
Man beachte, daß der Term ∂ 2 Bα T (y − Bα) in St in der Arbeit [Par85] fälschlicherweise
fehlt. Dies beeinträchtigt jedoch die weiteren Resultate nicht, da dieser Term als einziger
Term mit zweiten Ableitungen sowieso später vernachlässigt wird.
Aus (3.17) und (3.18) erhalten wir
∂α = −W11
∇ 2 αtl − W12 ¯ Γ = W11B T Jt − W11K − I − W11B T B ¯ R + ¯ Γ.
Mit den orthogonalen Projektoren PBN := (BN)(BN) + ∈ R m,m und P ⊥ BN := I − PBN ∈
R m,m gilt daher
sowie
BW11B T = BN(N T B T BN) −1 N T B T = PBN,
B(I − W11B T B) = P ⊥ BNB,
BW11K = BN(N T B T BN) −1 N T K
= BN(N T B T BN) −T N T K
= (BN) + T N T K.
Für die Jacobi-Matrix des reduzierten Funktionals ergibt sich J(t) := ∂F(t) = ∂(y −
B(t)α(t)) = Jt − B∂α. Setzen wir B∂α = PBNJt − [(BN) + ] T N T K − P ⊥ BN B ¯ R + ¯ Γ ein,
so erhalten wir unmittelbar [Par85, Lemma 6.2]: