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68 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
(b) Aus Voraussetzung (V4) folgt nach Satz 3.5 die lineare Unabhängigkeit der Gradienten
der aktiven Restriktionen von Subproblem (A).
(c) Falls die eindeutig bestimmten Lagrange-Parameter u ∗ von Subproblem (A) an der
Stelle t ∗ strikt komplementär sind, vgl. (V5), dann existiert eine Umgebung U ∗ 4 von
t ∗ so, daß die Lagrange-Parameter u von Subproblem (A) an der Stelle t ∈ U ∗ 4 (bzw.
α(t)) ebenfalls strikt komplementär sind.
Im nichtleeren Durchschnitt der Mengen U ∗ 1 , . . . , U ∗ 4 sind somit alle Voraussetzungen von
Theorem 3.1 erfüllt. Die Aussagen ergeben sich durch unmittelbare Anwendung des Theorems.
Für den Teil (i) der Behauptung gilt zudem:
Da das Subproblem (A) ein quadratisches, definites Optimierungsproblem ist, existiert
ein eindeutiges α∗ unter allen Paaren (α∗ , t∗ ), welche f minimieren und denselben Minimalwert
ergeben, und es gilt α∗ = α(t∗ ).
Korollar 3.6.
Die Voraussetzungen von Theorem 3.3 seien in einer Umgebung Ω der zulässigen Knotenfolge
t ∗ erfüllt. Wenn t ∗ eine globale Minimumstelle des reduzierten Funktionals f(t) in Ω
ist, so ist (α(t) ∗ , t ∗ ) globale Minimumstelle von f(α, t) für t ∈ Ω.
Beweis. Sei t∗ eine globale Minimumstelle von f(t) in Ω und sei α(t∗ ) die zugehörige
eindeutige Lösung von Subproblem (A). Klar ist, daß f (α(t∗ ), t∗ ) = f(t∗ ). Wir nehmen an,
daß eine Knotenfolge t † ∈ Ω und Koeffizienten α † existieren mit f α † , t † < f (α(t∗ ), t∗ ).
Nach Definition des reduzierten Problems gilt aber f(α, t) ≥ f(t) für alle t ∈ Ω, denn
f(α, t) := 1
2 y − B(t)α2 + 1
2 Sr(t)α 2 mit „beliebigem“ α und f(t) := 1
2 y − B(t)α(t)2 +
1
2 Sr(t)α(t) 2 mit „optimalem“ α(t).
Es folgt f(t † ) ≤ f α † , t † < f (α(t∗ ), t∗ ) = f(t∗ ). Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung,
daß t∗ globale Minimumstelle von f(t) in Ω ist. Also ist (α(t∗ ), t∗ ) globale
Minimumstelle von f(α, t) für t ∈ Ω.
Abbildung 3.1 verdeutlicht die Beziehungen zwischen Ausgangsproblem und reduziertem
Problem. Theorem 3.3 stellt zusammen mit Korollar 3.6 eine vollständige Entsprechung von
Theorem 2.6 auf den restringierten Fall dar.
Die Voraussetzungen (V1)–(V3) wurden schon im Anschluß an Theorem 2.6 diskutiert.
Wir möchten daher nur noch einmal auf die Voraussetzungen (V4) und (V5) eingehen: Ist die
strikte Konsistenzbedingung L < U nicht erfüllt, so erhält man für einige Koeffizienten α (p)
j
Gleichheitsrestriktionen. Dies ist zwar prinzipiell möglich (Theorem 3.1 gilt für allgemeine
reduzible Optimierungsprobleme, also auch für Gleichheitsrestriktionen), wurde jedoch aus
Gründen der Vereinfachung in unserem Rahmen nicht untersucht. Die Ausdrücke für die
Jacobi-Matrix werden in diesem Fall natürlich noch komplizierter.
Bei nichtstrikter Komplementarität der Lagrange-Parameter hat man nach dem Satz von
Daniel nur die Lipschitz-Stetigkeit von α(t) und damit F(t). In diesem nichtgenerischen Fall
kann man Methoden der nichtglatten Optimierung anwenden, verliert jedoch die Äquivalenz
der Probleme im Sinne von Theorem 3.3. Für Lipschitz-stetige Funktionale im Rn hat man
nach dem Satz von Rademacher zumindest die Differenzierbarkeit fast überall.