pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.2 Problemformulierung 15
mit dem Glättungsparameter µ > 0 und dem Schoenberg-Funktional φ. Falls die Knoten die
Bedingung (2.7) erfüllen, so existiert s (r) und besitzt die Darstellung
s (r) (x) =
n
j=r+1
Bj,k−r,τ (x)α (r)
j
mit α (r) := Dr(τ )α und Dr(τ ) ∈ Rn−r,n wie in Lemma 2.3. Setzt man dies in den Glättungsterm
¯ρ ein, so erhält man
¯ρ = 1
b n
Bi,k−r,τ (x)α
2
(r)
n
i
Bj,k−r,τ (x)α (r)
j dx
= 1
2
a
n
i,j=r+1
i=r+1
α (r)
i α(r)
j
= 1
2 α(r)T ¯ Mr(τ )α (r)
j=r+1
b
Bi,k−r,τ (x)Bj,k−r,τ (x) dx
a
mit der, von den Knoten τ abhängigen, Matrix ¯
Mr(τ ) =
¯m (r)
ij :=
b
a
¯m (r)
ij ∈ Rn−r,n−r Bi,k−r,τ (x)Bj,k−r,τ (x) dx i, j = r + 1, . . . , n.
Die Matrix ¯ Mr(τ ) ist eine symmetrische Matrix der Bandbreite 2(k − r) − 1 und als Gramsche
Matrix linear unabhängiger Funktionen positiv definit. Sei ¯ Mr(τ ) = ¯ Fr(τ ) T ¯ Fr(τ ) die
Cholesky-Faktorisierung. Die reguläre obere Dreiecksmatrix ¯ Fr(τ ) ∈ R n−r,n−r besitzt die
Bandbreite k − r. Damit erhält man für den Glättungsterm
¯ρ = 1
2 α(r)T Mr(τ ¯ )α (r) = 1
2 αT Dr(τ ) T Fr(τ ¯ ) T Fr(τ ¯ )Dr(τ )α = 1
¯ Sr(τ )α
2
2 mit der Glättungsmatrix
(2.8)
¯ Sr(τ ) := ¯ Fr(τ )Dr(τ ) ∈ R n−r,n .
Die Glättungsmatrix ¯ Sr(τ ) ist eine obere Dreiecksmatrix mit Bandbreite k. Sie hat wegen
der Zeilenregularität von Dr(τ ) und der Regularität von ¯ Fr(τ ) Vollrang n − r.
Die Berechnung der Elemente ¯m (r)
ij
der Gramschen Matrix ist für k − r > 2 teuer.
Bei sorgfältiger Implementierung kann sie mittels dividierter Differenzen in O n(k − r) 2
Operationen erfolgen. Dieser Prozeß ist jedoch für große Ordnung k und sehr ungleichmäßig
verteilte Knoten numerisch instabil. In [dBLS76] wird deshalb eine stabile Rekursionsformel
mit O n(k − r) 3 Operationen angegeben. Der „naive“ Zugang, nämlich die Anwendung der
Gauß-Quadratur auf den einzelnen Teilintervallen, benötigt ebenfalls O n(k − r) 3 Operationen
und ist numerisch stabil. Er wird in [Sch81] empfohlen. Eine Übersicht und Wertung
verschiedener Verfahren zur Berechnung der Gramschen Matrix findet man in [VBH92].
Eine Alternative zum exakten Glättungsterm ¯ρ besteht in der Verwendung einer billigeren
Approximation ˜ρ. Wir ersetzen die L2-Semi-Norm durch ihr diskretes Analogon im
Splineraum Sk−r,τ und definieren für s(x) = n j=1 Bj,k,τ (x)αj die diskreten Normen
⎧
⎨ 1/p n
s := j=1 |αj| p τj+k−τj
k , für 1 ≤ p < ∞,
lp ⎩
max |αj|, für p = ∞.