pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.6 Numerische Tests 43
Knoten haben wir das relative Distanzmaß ɛ = 0.0625 verwendet, das ebenfalls von de
Boor/Rice benutzt wurde.
1
2
3
4
5
F ν+1 ≤ ε t 0
J ν T F ν ≤ ε t 1
F ν T J ν s ν ≤ ε t 2
tν+1 − tν ≤ εt 3
F ν+1 − F ν ≤ ε t 5
6 ν > νmax
7 failed otherwise
tν + εt
4
ν F
Tabelle 2.1: Rückgabewerte und Abbruchtests
Zum Vergleich des entwickelten Verfahrens mit Standardoptimierungsverfahren führen
wir noch eine Minimierung des reduzierten Funktionals mit der MATLAB-Routine CON-
STR durch. Die Abbruchkonstanten wurden dabei auf den vorgegebenen Standardwerten
belassen.
2.6.1 Titanium Heat Data
Eines der am besten untersuchten Beispiele innerhalb der Approximation durch Splines mit
freien Knoten sind die sog. Titanium Heat Data, siehe [dBR68], [dB78] und [Jup78]. Diese
realen Daten beschreiben eine Eigenschaft von Titan in Abhängigkeit von der Temperatur.
Sie sind mit einem nicht zu vernachlässigenden stochastischen Fehler behaftet. Die m = 49
Meßpunkte sind äquidistant im Intervall [595, 1075] verteilt. Die Meßwerte verlaufen relativ
flach bis auf den typischen Peak im Bereich x = 900.
Um einen direkten Vergleich mit den Resultaten von [dBR68] und [Jup78] zu ermöglichen,
wollen wir diese Daten durch n = 9 B-Splines der Ordnung k = 4 approximieren,
d. h. wir benutzen keine Glättung. Alle l = 5 innere Knoten werden als frei betrachtet.
Der Optimierungsprozeß wird mit den folgenden drei Knotenfolgen, welche auch von Jupp
verwendet wurden, gestartet:
t1 Startpunkt nahe der inneren Optimalstelle,
t2 Startpunkt von [dBR68],
t3 äquidistante innere Knoten.
Jupp [Jup78] erwähnt, daß es vier stationäre Punkte zu diesem Problem gibt, welche
dort wahrscheinlich in einfacher Arithmetik gefunden wurden, siehe Tabelle 2.2.
Tabelle 2.3 zeigt einen Vergleich der Routinen. Man erkennt, daß sowohl unser Algorithmus
als auch die MATLAB-Routine ausgehend von den Startpunkten t1 und t2 das globale
Optimum im Inneren des zulässigen Bereiches finden, obwohl die MATLAB-Routine im zweiten
Fall die gewünschte Genauigkeit nicht erreicht und vorzeitig abbricht. Der neuentwickelte
Algorithmus benötigt jedoch stets nur einen Bruchteil der Zeit. Die Abbildungen 2.1 und