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94 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines
Beweis. Wir definieren die Lagrange-Funktionen des vollständigen und reduzierten Problems
LI (t 1 , t 2 , A, w 1 , w 2 ) := f (t 1 , t 2 ncstr1
, A) −
LII (t 1 , t 2 , w 1 , w 2 ) := f (t 1 , t 2 ncstr1
) −
i=1
i=1
w 1
ir 1
i (t 1 ncstr2
) −
i=1
w 1
i r 1
i (t 1 ncstr2
) −
i=1
w 2
ir 2
i (t 2 )
w 2
i r 2
i (t 2 )
mit nichtnegativen Multiplikatoren w1 i , w1 i (i = 1, . . . , ncstr1) und w2 i , w2 i (i = 1, . . . , ncstr2)
und den Nebenbedingungen r 1 (t 1 ) := C1t 1 − h 1 ≥ 0 und r 2 (t 2 ) := C2t 2 − h 2 ≥ 0.
(i) Sei (t 1∗ , t 2∗ ) ein kritischer Punkt des reduzierten Problems und sei Aopt (t 1∗ , t 2∗ ) =
B1 (t 1∗ ) + Z B2 (t 2∗ ) + T . Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung liefern
dann die Existenz von Multiplikatoren w 1∗ und w 2∗ , so daß
∇ t 1LII (t 1∗ , t 2∗ , w 1∗ , w 2∗ ) = 0 ∇ t 2LII (t 1∗ , t 2∗ , w 1∗ , w 2∗ ) = 0
r 1
i (t 1∗ ) ≥ 0 (i = 1, . . . , ncstr1) r 2
i (t 2∗ ) ≥ 0 (i = 1, . . . , ncstr2)
w 1∗
i r 1
i (t 1∗ ) = 0 (i = 1, . . . , ncstr1) w 2∗
i r 2
i (t 2∗ ) = 0 (i = 1, . . . , ncstr2)
w 1∗
i = 0 (i = 1, . . . , ncstr1) w 2∗
i = 0 (i = 1, . . . , ncstr2).
Ferner sind constraint qualifications an der Stelle (t 1∗ , t 2∗ ) erfüllt. Es gilt
0 = ∇ t 1LII (t 1∗ , t 2∗ , w 1∗ , w 2∗ )
= ∇t1f (t 1∗ , t 2∗ ncstr1
) −
i=1
w 1∗
i ∇t1r 1
i (t 1∗ ncstr2
) −
i=1
w 2∗
i ∇ t 1r 2
i (t 2∗ ).
Mittels Lemma 4.2 und durch die Identifikation entsprechender Multiplikatoren erhalten
wir
= ∇t1f (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ ncstr1
)) −
i=1
= ∇t1LI (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ ) , w 1∗ , w 2∗ ) .
w 1∗
i ∇t1r 1
i (t 1∗ ncstr2
) −
i=1
w 2∗
i ∇ t 1r 2
i (t 2∗ )
Analog erhalten wir 0 = ∇ t 1LI (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ ) , w 1∗ , w 2∗ ) . Zusammen mit der Zulässigkeit
der Nebenbedingungen und der Komplementarität (nach Identifikation entsprechender
Mulitplikatoren) ergibt dies die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung
für das vollständige Problem. Die constraint qualification überträgt sich auf das
vollständige Problem, da die Nebenbedingungen unverändert bleiben. Man beachte, daß
∇ALI (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ ) , w 1∗ , w 2∗ ) = 0 auf Grund der Definition von Aopt (t 1∗ , t 2∗ ).
Also ist (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ ) , w 1∗ , w 2∗ ) ein kritischer Punkt des vollständigen Problems.
Nach Definition des reduzierten Problems hat man
f (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ )) = f (t 1∗ , t 2∗ ) .
Der Rest des Beweises folgt den Grundideen des Beweises von Golub/Pereyra. Der
Vollständigkeit halber sei er hier angeführt.