pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

84 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines
Die Extremaleigenschaften eindimensionaler Splines kann man sowohl auf interpolierende
als auch glättende Tensorprodukt-Splines übertragen. So ist etwa der natürliche bikubische
glättende Spline die Lösung des Variationsproblems
b1
(4.2) min
a1
b2
a2
[D 2,2 s(x, y)] 2 dx dy + µ1
m2
b1
µ2
a1 i2=1
m1
i1=1
b2
a2
[D 2,0 s(x, yi2 )]2 dx + µ1µ2
[D 0,2 s(xi1 , y)]2 dy+
m1 m2
i1=1 i2=1
[zi1,i2
− s(xi1 , yi2 )]2
für s ∈ W 2,2
2 [a1, b1] × [a2, b2], siehe [HS85]. Der Operator D r1,r2 bezeichnet die partielle
Ableitung der Ordnung r1 bez. der Variablen x und der Ordnung r2 bez. der Variablen y.
Die Parameter µ1 > 0 und µ2 > 0 heißen Glättungsparameter. Die obige Extremalcharakterisierung
hat den Nachteil, daß die Knoten mit den Datenstellen zusammenfallen müssen.
Es ist also keine Datenreduktion möglich.
Aus diesem Grund verwenden wir die Quadratmittelapproximation durch Tensorpro-
dukt-B-Splines, d. h. die unbekannte Funktion g soll durch einen bivariaten Spline s ∈
Sk1,τ 1 ⊗ Sk2,τ 2 approximiert werden. Der Raum Sk1,τ 1 ⊗ Sk2,τ 2 sei dabei das Tensorprodukt
der univariaten Splineräume Sk1,τ 1 und Sk2,τ 2 der polynomialen Splines der Ordnung k1
bzw. k2 zur Knotenfolge τ 1 bzw. τ 2 . Die Knotenfolgen seien wie folgt
τ 1 : τ 1
1 = · · · = τ 1
k1 = a1 < τ 1
1
k1+1 ≤ · · · ≤ τn1 < b1 = τ 1
n1+1 = · · · = τ 1
n1+k1
τ 2 : τ 2
1 = · · · = τ 2
k2 = a2 < τ 2
k2+1
≤ · · · ≤ τ 2
n2 < b2 = τ 2
n2+1 = · · · = τ 2
n2+k2 .
Die Parameter des Splines s sollen so gewählt werden, daß der Quadratmittelfehler
(4.3a) ϕ(s) := 1
2
m1
m2
i1=1 i2=1
[zi1,i2
− s(xi1 , yi2 )]2
minimiert wird. Es ist bekannt, daß die stets existierende Lösung von (4.3a) nur dann eindeutig
ist, wenn die Daten die Schoenberg-Whitney-Bedingung erfüllen. Im Falle beliebiger
Daten ist die Eindeutigkeit i. allg. nicht gesichert. Diesem Problem wird wiederum durch
Verwendung von glättenden Splines begegnet.
Durch die Verwendung des „thin plate functionals“
b1 b2
a1
a2
{[D 2,0 s(x, y)] 2 + 2[D 1,1 s(x,y)] 2 + [D 0,2 s(x, y)] 2 } dx dy
als Glättungsterm, welches physikalisch eine mittlere Biegeenergie verkörpert, ist die Eindeutigkeit
unabhängig von den Daten gesichert. Ein Nachteil der Verwendung des „thin
plate functionals“ ist, daß das Funktional keine Tensorprodukt-Struktur besitzt und somit
im Fall von Daten auf Rechteckgittern keine Separation der Lösung mehr möglich ist.
Durch Verwendung eines gegenüber (4.2) geringfügig abgeänderten Glättungsterms erreichen
wir wieder eine Separation in eine Folge univariater Probleme. Wir betrachten das