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52 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
konvexe kubische Splines und löst das zugrundeliegende Optimierungsproblem mit der
simplexartigen Theil/van de Panne-Prozedur. Cox/Jones [CJ87] untersuchen den Fall der
formerhaltenden l1-Approximation, während Schmidt [Sch90] die Glättung durch monotone
quadratische Splines betrachtet. In Schmidt/Scholz [SS90] wird ein effizientes Verfahren
zur Glättung (r = 2) mit kubischen Splines unter den verallgemeinerten Konvexitätsnebenbedingungen
δ(x) ≤ s ′′ (x) ≤ ɛ(x), (δ, ɛ - lineare C 0 -Splines) entwickelt, bei der das
unrestringierte duale Problem an Stelle des partiell separablen primalen Problems gelöst
wird 1 . In Schwetlick/Kunert [SK93] wird das allgemeine Problem δ(x) ≤ s (p) (x) ≤ ɛ(x)
(δ, ɛ - stückweise konstante C 0 -Splines; p, r ∈ {0, . . . , q}) mittels Orthogonalisierungstechniken
gelöst. Es sei bemerkt, daß bei den dualen Zugängen eine möglichst genaue numerische
Lösung des dualen Programms erforderlich ist, da ein vorzeitiger Abbruch eine primal unzulässige
Lösung liefert. Bei dem Problem der formerhaltenden Approximation kommt jedoch
der Einhaltung der Nebenbedingungen eine vergleichsweise hohe Bedeutung zu, während
die genaue Form des Glättungsfunktionals oft nicht a priori gegeben ist.
In diesem Kapitel wollen wir daher die formerhaltende Approximation mit der Quadratmittelapproximation
durch Splines mit freien Knoten verbinden. Wir beziehen erneut
eine Teilfolge der Knoten, die sog. freien Knoten, in den Optimierungsprozeß ein. Dies resultiert
in einem nichtlinearen Quadratmittelproblem in den Koeffizienten und den freien
Knoten mit linearen Ungleichheitsnebenbedingungen an die freien Knoten (Anordnungsnebenbedingungen)
sowie nichtlinearen Ungleichheitsnebenbedingungen an die Koeffizienten
und Knoten (formerhaltende Nebenbedingungen). Letztere Nebenbedingungen sind linear
in den Koeffizienten, wenn man die Splineknoten festhält. Das Originalproblem ist demzufolge
ein Spezialfall sog. restringierter semi-linearer Quadratmittelprobleme (constrained
semi-linear least squares problems), einer Verallgemeinerung der wohlbekannten separablen
Quadratmittelprobleme, vgl. Abschnitt 2.3. Unter Benutzung von Ergebnissen aus der
PhD-Thesis von Parks [Par85] über solche speziellen Optimierungsprobleme leiten wir ein
reduziertes Problem her, in welchem wiederum nur die freien Knoten auftreten. Wir untersuchen,
unter welchen Bedingungen im Rahmen der Splineglättung Originalproblem und
reduziertes Problem äquivalent sind.
Das reduzierte Problem wollen wir erneut durch ein verallgemeinertes Gauß-Newton-
Verfahren lösen. Da die Struktur der Jacobi-Matrix im restringierten Fall sehr kompliziert
ist, neben den Ableitungen nach den B-Splines gehen Ableitungen nach den Nebenbedingungen
und verschiedene Projektoren ein, verallgemeinern wir die Ideen von Kaufman [Kau75]
für separable Quadratmittelprobleme auf den restringierten Fall. Wir verwenden eine billiger
zu berechnende Approximation an die Jacobi-Matrix, die Kaufman-Approximation, und
untersuchen sowohl den qualitativen als auch quantitativen Einfluß dieser Approximation.
Nach jüngsten Aussagen der Autorin T. A. Parks und eigenen Erkenntnissen wurden damit
die theoretischen Ergebnisse aus [Par85] erstmals praktisch umgesetzt und die Verwendung
von exakter Jacobi-Matrix und Kaufman-Approximation numerisch getestet.
Wir entwickeln also in diesem Kapitel ein Verfahren, welches zu gegebener Anzahl und
Anfangsposition der Knoten eine optimale Plazierung der Knoten in Abhängigkeit von den
Daten {xi, yi} und den gegebenen formerhaltenden Nebenbedingungen sucht. Da das Problem
nichtkonvex ist, kann Eindeutigkeit i. allg. nicht garantiert werden.
Im Gegensatz zu Kapitel 2 sind uns bei der formerhaltenden Approximation durch Spli-
1 Für einen Überblick über partiell separable Optimierungsprobleme und ihre Anwendung bei der restrin-
gierten Splineapproximation siehe [Sch92a].