pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

56 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
Beispiel 3.1. k = 4, n = 9, p = 2, l (2)
i ≤ s′′ (x) ≤ u (2)
i ∀x ∈ [ti, ti+1) i = 4, . . . , 9
l = (0, 0, 0, 0, −∞, −∞)
u = (+∞, +∞, +∞, +∞, −1, −1)
=⇒ L = (0, 0, 0, 0, 0, −∞, −∞)
U = (+∞, +∞, +∞, +∞, −1, −1, −1)
Die Konsistenzbedingung L ≤ U ist verletzt (0 = L7 > U7 = −1), obwohl l < u.
Beispiel 3.2. k = 4, n = 9, p = 1, s ′ (x) ≥ 0 ∀x ∈ [t4, t8), s ′ (x) ≤ 0 ∀x ∈ [t9, t10)
l = (0, 0, 0, 0, −∞, −∞)
u = (+∞, +∞, +∞, +∞, +∞, 0)
=⇒ L = (0, 0, 0, 0, 0, 0, −∞, −∞)
U = (+∞, +∞, +∞, +∞, +∞, 0, 0, 0)
Die Nebenbedingungen sind konsistent, aber nicht strikt konsistent.
Beispiel 3.3. k = 4, n = 9, p = 2, s ′′ (x) ≥ 0 ∀x ∈ [t4, t8), s ′′ (x) ≤ 0 ∀x ∈ [t9, t10)
l = (0, 0, 0, 0, −∞, −∞)
u = (+∞, +∞, +∞, +∞, +∞, 0)
Die Nebenbedingungen sind strikt konsistent.
Strikte Konsistenz
=⇒ L = (0, 0, 0, 0, 0, −∞, −∞)
U = (+∞, +∞, +∞, +∞, +∞, 0, 0)
In den späteren Anwendungen benötigen wir die strikte Konsistenz der Nebenbedingungen.
Im Falle einseitiger Schranken an s (p) auf dem ganzen Intervall ist diese Bedingung trivialerweise
erfüllt. Wir untersuchen jetzt den wichtigen Fall von einseitigen Schranken an s (p)
auf verschiedenen Teilintervallen. Wir beschränken uns o.B.d.A. auf zwei Teilintervalle mit
Schranken an Ableitungen und betrachten die Nebenbedingung
s (p) (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, tι) und s (p) (x) ≤ 0 für alle x ∈ [tκ, b)
mit ι, κ ∈ {k + 1, . . . , n} und ι ≤ κ. Die Knoten tι und tκ sollen o.B.d.A. hinreichend weit
im Inneren des Intervalls [tk, tn+1] liegen, d. h. die Indexmengen Wj werden nicht von den
Randknoten beeinflußt. Dann gilt:
l (p)
i
l (p)
i
l (p)
i
Für die Schranken L (p)
j
wir
L (p)
j
L (p)
j
= 0, u(p)
i
= −∞, u(p)
i
= −∞, u(p)
i
und U (p)
j
= 0, U (p)
j
= −∞, U (p)
j
= +∞, i = k, . . . , ι − 1,
= +∞, i = ι, . . . , κ − 1,
= 0, i = κ, . . . , n.
für die Splinekoeffizienten α (p)
j (j = p + 1, . . . , n) erhalten
= +∞, j = p + 1, . . . , ι − k + p,
= 0, j = κ, . . . , n.
Die obigen Schranken werden allein durch die Vorgaben s (p) ≥ 0 auf [a, tι) bzw. s (p) ≤ 0
auf [tκ, b] bestimmt. Für die Schranken L (p)
j , U (p)
j (j = ι − k + p + 1, . . . , κ − 1) beeinflussen
sich diese Nebenbedingungen gegenseitig.