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2.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems 41
also
(2.44)
∂ ˜ Fij(t)
∂τ p(κ)
= 0 falls i = j,
∂ ˜ Fjj(t)
∂τ p(κ)
k−r
⎧
⎪⎨
−
=
⎪⎩
1
2
falls p(κ) = k + j,
τk+j−τr+j
1 k−r
2
falls p(κ) = r + j,
τk+j−τr+j
0 sonst.
Erneut wird c n−r direkt mit ∂ ˜ Fr[e κ ]c n−r überschrieben, wobei wiederum nur zwei Elemente
verschieden von Null sind.
Schließlich geben wir den Algorithmus zur Berechnung der Ableitung der approximierten
Glättungsmatrix nach den Knoten an. Für κ ∈ {1, . . . , l} und α ∈ R n gilt
∂ ˜ Sr
[e κ ]α =
∂ ˜ Fr
Algorithmus 2.3 (Berechnung von v :=
R n−r mittels Algorithmus 2.2;
S2: Berechne v 1 := ˜ Frv 1 ∈ R n−r ;
S3: Berechne v 2 := Drα ∈ R n−r ;
S4: Berechne v 2 :=
∂ ˜ Fr
[e κ ]v 2 ∈ R n−r ;
[e κ ]Drα + ˜ Fr (∂Dr) [e κ ]α ∈ R n−r .
∂ ˜
Sr [eκ ]α ∈ Rn−r ).S1: Berechne v1 := (∂Dr) [eκ ]α ∈
S5: Setze v := v 1 + v 2 ; {v =
∂ ˜
Sr [eκ ]α ∈ Rn−r }
Mittels Algorithmus 2.3 werden die letzten n − r Komponenten der gesuchten Ableitung
nach den freien Knoten berechnet. Unter Benutzung der bereits berechneten QR-
Faktorisierungen kann damit die Kaufman-Approximation JK spaltenweise aufgebaut werden.
Wenn die benötigten Ableitungen in der obigen Weise bereitgestellt werden, so bezeichnen
wir den Algorithmus mit RSP-Ka-ED (reduced smoothing problem, Kaufman model,
exact derivatives).
Bei Benutzung des Golub/Pereyra-Modells approximieren wir die Jacobi-Matrix F ′ (t)
spaltenweise durch finite Differenzen
F ′ (t)e κ ≈ F(t + hκe κ ) − F(t)
hκ
(κ = 1, . . . , l),
wobei die Schrittweite gemäß hκ = ɛ1(|τ p(κ)|+ɛ2), ɛ1 ≈ √ macheps gewählt wird. Da hier die
Diskretisierung unter Vernachlässigung der inneren Struktur der Jacobi-Matrix erfolgt, nennen
wir diese Approximation äußere Diskretisierung und bezeichnen den Algorithmus mit
RSP-GP-OD (reduced smoothing problem, Golub/Pereyra model, outer discretization). Man
beachte, daß diese Diskretisierung die zusätzliche Lösung von l Quadratmittelproblemen des
Typs (2.40) erfordert. Eine Alternative – etwa bei Verwendung der exakten Glättungsmatrix
– besteht in der Diskretisierung im Inneren des Ausdrucks für die Kaufman-Approximation.
Die Ableitungen der B-Splines nach den freien Knoten können z.B. gemäß
(∂B(t) [e κ ]) i,j ≈ Bj (xi, t + hκe κ ) − Bj (xi, t)
berechnet werden, analog für ∂Sr(t)[e κ ]. Den entsprechenden Algorithmus bezeichnen wir
mit RSP-Ka-ID (reduced smoothing problem, Kaufman model, inner discretization).
hκ