pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

4.2 Separable Quadratmittelprobleme mit Tensorprodukt-Struktur 93
Beweis. (i) Wir betrachten zunächst die Fréchet-Ableitung bez. t1 . Setzt man die variable
Projektion in die Formel (4.17) ein, so erhält man
∂1f (t 1 , t 2 , Aopt (t 1 , t 2 )) [∆t 1 ] = tr −B2B + 2 ZT (B + 1 )T (∂1B1[∆t 1 ]) T Z − B1B + 1 Z(B+ 2 )T B T 2
= tr
−PB2 ZT ((∂1B1[∆t 1 ])B + 1 )T P ⊥ B1 ZPB2
= ∂1f (t 1 , t 2 ) [∆t 1 ] (siehe (4.19)).
(ii) Widmen wir uns nun der Fréchet-Ableitung bez. t2 . Einsetzen der variablen Projektion
in die Formel (4.18) liefert
∂2f (t 1 , t 2 , Aopt (t 1 , t 2 )) [∆t 2 ] = tr B1B + 1 Z(B+ 2 )T B T 2 − Z (∂2B2[∆t 2 ])B + 2 ZT (B + 1 )T B T 1
= tr
−PB1 ZP⊥ B2 (∂2B2[∆t 2 ])B + 2 ZT PB1
= ∂2f (t 1 , t 2 ) [∆t 2 ] (siehe (4.20)).
Die Bedeutung des obigen Lemmas ebenso wie die des nächsten Satzes liegt nicht so
sehr in deren Aussage an sich – die man erwarten konnte, sondern in den Darstellungen
von Gradient und Jacobi-Matrizen des reduzierten Funktionals. Das folgende Theorem ist
damit eine natürliche Verallgemeinerung von [GP73, Theorem 2.1] auf den Tensorprodukt-
Fall. Man beachte jedoch, daß wir die linearen Ungleichheitsnebenbedingungen an t 1 und
t 2 einbezogen haben.
4.2.4 Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem
Theorem 4.1 (Äquivalenz von vollständigem und reduziertem Problem).
Seien vollständiges und reduziertes Problem wie oben definiert. Sei weiterhin vorausgesetzt,
daß die Matrixfunktionen B1(t 1 ) (bzw. B2(t 2 )) konstanten Rang auf der offenen Menge
Ω1 ⊂ R l1 (bzw. Ω2 ⊂ R l2 ) besitzen.
(i) Ist (t1∗ , t2∗ ) ein kritischer Punkt (oder eine globale Minimumstelle auf Ω1 × Ω2) des
reduzierten Problems und gilt
Aopt (t 1∗ , t 2∗ ) = B1 (t 1∗ ) + Z
B2 (t 2∗ ) + T
,
so ist (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ )) ein kritischer Punkt (oder eine globale Minimumstelle
für (t 1 , t 2 ) ∈ Ω1 × Ω2) des vollständigen Problems und es gilt
f (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ )) = f (t 1∗ , t 2∗ ) .
(ii) Ist (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) eine globale Minimumstelle des vollständigen Problems für (t 1 , t 2 ) ∈
Ω1 × Ω2, so ist (t 1∗ , t 2∗ ) eine globale Minimumstelle des reduzierten Problems auf
Ω1 × Ω2 und es gilt
f (t 1∗ , t 2∗ ) = f (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) .
Gibt es ein eindeutiges A∗ unter allen minimierenden Paaren von f (t1 , t2 , A), so muß
gelten
A ∗ = B1 (t 1∗ ) +
Z B2 (t 2∗ ) +T .