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2.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems 37
2.5.2 Die Berechnung der Residuumsfunktion
Zur Berechnung der Residuumsfunktion F sowie der Matrizen F ′ oder JK des verwendeten
quadratischen Modells benötigen wir ein schnelles und stabiles Verfahren zur Lösung der
linearen Quadratmittelprobleme
(2.40) min
1
2
y
0
−
B
√ µSr
α
2
: α ∈ R n
Wir benutzen Algorithmen aus [Cox81] und [Eld84] (siehe auch [SK93]) und reduzieren die
Systemmatrix auf obere Dreiecksform unter Benutzung zeilenweiser Givens-Drehungen.
In einem ersten Schritt wird die Matrix B durch Linksmultiplikation mit einer Folge
von geeigneten Givens-Drehungen auf obere Dreiecksform transformiert:
Beispiel 2.3. k = 4, n = 9, m = 12
⎡
x
⎢
⎢x
⎢
⎢x
⎢
B = ⎢
⎣
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⎤
⎥
x⎦
x x x x
Formal erhalten wir QT
R0
0 B =
0
Givens R0
−−−−→
0
.
⎡
x
⎢
⎢
= ⎢
⎣
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⎤
⎥
x ⎥
x ⎥
x ⎥
x⎦
, Q0 ∈ R m,m orthogonal, R0 ∈ R n,n obere Dreiecks-
matrix der Bandbreite k. Die rechte Seite y ∈ Rm kann simultan gemäß QT 0 y =
c
d
c ∈ R n , d ∈ R m−n transformiert werden. Die Matrix B kann zeilenweise abgearbeitet werden,
und es ist nur nötig, Speicherplatz für R0 bereitzuhalten. Die einzelnen Zeilen von
B, d. h. alle nichtverschwindenden B-Splines an einer Stelle xi, werden simultan mittels
der Rekursionsformel berechnet, siehe [dB78, S. 134f]. Für die wiederholte Lösung solcher
Quadratmittelprobleme mit verschiedenen rechten Seiten wird die relevante Information zur
Rekonstruktion der Givens-Parameter im Band von B gespeichert.
Zur Berechnung der zeilenweisen QR-Faktorisierung einer Matrix B ∈ R m,n (k – Zeilenbandbreite)
benötigt man nach [Cox81] (siehe auch [Bjö96]) die folgende Anzahl von
arithmetischen Operationen:
Matrix-Struktur Standardform Nicht-Standardform
volle Matrix 2mn 2 2mn 2
Bandmatrix 2mk 2 2mnk
Eine Matrix ist in Standardform, wenn der Index des am weitesten rechts stehenden Nichtnullelementes
jeder Zeile eine nichtfallende Funktion der Zeilennummer ist. Offenbar ist die
Matrix B in Standardform, die Systemmatrix Bµ dagegen nicht.
,