pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

3.2 Problemformulierung 55
für x ∈ [ti, ti+1) und Ki := {i − k + p + 1, . . . , i}. Eine hinreichende Bedingung für (3.5) ist
deshalb
l (p)
i ≤ min α (p)
j : j ∈ Ki und max α (p)
j : j ∈ Ki ≤ u (p)
i i = k, . . . , n.
Dies können wir äquivalent folgendermaßen formulieren
L (p)
j
mit den 2(n − p) Konstanten
≤ α(p)
j
L (p)
j := max l (p)
i
und der Indexmenge Wj :=
L :=
L (p)
T p+1 , . . . , L(p) n
≤ U (p)
j
: i ∈ Wj
j = p + 1, . . . , n
, U (p)
j := min u (p)
i
: i ∈ Wj
max{j, k}, . . . , min{j + k − p − 1, n} bzw. in Matrixform
L ≤ α (p) ≤ U
∈ R n−p , U :=
Eine hinreichende Bedingung für (3.5) ist also
(3.6) L ≤ Dp(t)α ≤ U.
U (p)
T (p)
p+1 , . . . , U n
∈ R n−p .
In den weiteren Ausführungen seien −∞ und +∞ formal als untere bzw. obere Schranken
zugelassen. Damit ergibt sich die praktisch wichtige Positivitätsforderung an s (p) als Spezialfall
der einfachen Schranken. Die verwendeten Algorithmen sind in der Lage, diese Fälle
ebenfalls zu behandeln.
Noch allgemeinere Nebenbedingungen an Ableitungen – etwa die simultane Forderung
nach Konvexität und Monotonie – führen auf ähnlich strukturierte Nebenbedingungen (siehe
[Kun95]). Um unsere entwickelten Techniken anwenden zu können, sind von diesen verallgemeinerten
Nebenbedingungen gegebenenfalls in einem „preprocessing step“ redundante
Nebenbedingungen zu entfernen.
3.2.3 Konsistenz der Nebenbedingungen
Für feste zulässige Knotenfolgen, d. h. Ct ≥ h, ist der zulässige Bereich des Optimierungsproblems
(3.1), (3.2), (3.6) genau dann nicht leer, wenn L ≤ U.
Definition 3.1 (Konsistenz, strikte Konsistenz). Die Nebenbedingungen
heißen konsistent, falls
(3.7) L (p)
j
Sie heißen strikt konsistent, falls
(3.8) L (p)
j
l (p)
i ≤ s(p) (x) ≤ u (p)
i ∀x ∈ [ti, ti+1), i = k, . . . , n
≤ U (p)
j j = p + 1, . . . , n (L ≤ U).
< U (p)
j j = p + 1, . . . , n (L < U).