pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.2 Problemformulierung 17
Die weiteren Ausführungen gelten für beide Glättungsterme gleichermaßen. Bei der Implementierung
ergeben sich jedoch auf Grund der unterschiedlichen Bandbreite minimale
Unterschiede.
Lemma 2.5 (Vollrangeigenschaft der Systemmatrix, Eindeutigkeit).
Für die Knotenfolge τ gelte τj < τj+k−q, j = q + 1, . . . , n und r ∈ {0, . . . , q}. Falls die
Regularitätsbedingung
(2.11) m ≥ r und µ > 0
erfüllt ist, so hat die Systemmatrix
Bµ(τ ) :=
B(τ )
√ µSr(τ )
Vollrang n und das Glättungsproblem
1
y
B(t)
2 − √
0 µSr(t)
∈ R m+n−r,n
α
2
→ min
α∈R n
für jede feste Knotenfolge τ eine eindeutige Lösung αopt(τ ), welche gegeben ist durch
αopt(τ ) :=
B(τ )
√ µSr(τ )
T
B(τ )
√ µSr(τ )
−1
B(τ )
√ µSr(τ )
T y
0
Beweis. Die Systemmatrix Bµ ist genau dann spaltenregulär, wenn ker(Bµ) = ker(B) ∩
ker( √ µSr) = 0. Sei α ∈ ker(B), d. h. s(xi) = 0 (i = 1, . . . , m). Sei weiterhin α ∈ ker( √ µSr),
d. h. √ µSrα = 0. Dies gilt genau dann, wenn Srα = 0 bzw. s (r) ≡ 0, da µ > 0 vorausgesetzt
war. Ein Element α ∈ ker(B)∩ker( √ µSr) ist also dadurch charakterisiert, daß ein Polynom
r-ter Ordnung die Daten {xi, 0} (i = 1, . . . , m) interpoliert. Daraus folgt α = 0 im Fall
m ≥ r.
Die Bedingung (2.11) kann unabhängig von der Lage der Daten gesichert werden und
ersetzt gewissermaßen die Schoenberg-Whitney-Bedingung (2.3). Bei praktischen Aufgabenstellungen
ist sie in natürlicher Weise erfüllt (im allgemeinen gilt: Anzahl m der Meßwerte
≫ Ordnung r im Glättungsterm). Die Schoenberg-Whitney-Bedingung läßt sich dagegen
im Laufe des Minimierungsprozesses nur schwer sichern.
2.2.3 Die freien Knoten
Die Splinekoeffizienten α und die Splineknoten τ sollen jetzt so bestimmt werden, daß
das Glättungsfunktional f mit f(α, τ ) = 1
2 F(α, τ )2 minimiert wird. Um eine größere
Flexibilität zu erreichen, beschränken wir uns bei der Optimierung auf eine Teilmenge t
der Knoten τ , die sog. freien Knoten. Diese Option ist hilfreich bei der Approximation
mehrerer Datensätze, welche sich nur in einem kleinen Bereich des Ausgangsintervalls [a, b]
voneinander unterscheiden. In solchen Fällen sollte man nur die Lage der Knoten in diesem
kleinen Bereich optimieren. Außerdem werden wir in den weiteren Ausführungen fordern,
daß die freien Knoten einfach sind. Durch die Betrachtung einer Teilmenge der Knoten kann
man dann a priori feste mehrfache Knoten festlegen, um eine schwächere Glattheitsforderung
an diesen Stellen zu erfüllen.
.