pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

2.3 Separable Quadratmittelprobleme 25
Nun können wir das Gauß-Newton-Modell für das reduzierte Problem (2.22) bilden:
(2.27) µGP (t + s) := 1
′
F(t) + F (t)s2 .
2
Im weiteren werden wir dieses Modell als Golub/Pereyra-Modell bezeichnen. In der Originalarbeit
von Golub/Pereyra [GP73] wird anstatt mit der Pseudoinversen B + mit einer
symmetrischen verallgemeinerten Inversen B − , welche nur die Bedingungen (P1), (P2) und
(P3) erfüllt, gearbeitet. Diese verallgemeinerte Inverse wird über eine QR-Transformation
auf Trapezform berechnet.
Damit sind wir in der Lage, das Gauß-Newton-Verfahren für das reduzierte Problem
(2.22) zu formulieren.
Algorithmus II (Golub/Pereyra-Modell).S1: Wähle Startpunkt t (0) ∈ R l
S2: For ν = 0, 1, . . . do
S2.1: Konvergenztest, Falls Konvergenz goto S3;
S2.2: Berechne s (ν)
t
:= −
−
S2.3: Setze t (ν+1) := t (ν) + s (ν)
t
S3: Setze α ∗ := B(t ∗ ) + y
P ⊥ B (∂B)B+ + P ⊥ B (∂B)B+ T
y
Eine effiziente Implementierung dieses Verfahrens findet sich in Krogh [Kro74]. Dort wird
angenommen, daß B Vollrang hat. Sowohl in den Implementierungen von Golub/Pereyra
als auch in der von Krogh muß der Tensor ∂B gebildet werden, da er einmal als ∂B als
auch als (∂B) T auftritt. Dies erschwert eine effiziente Implementierung erheblich. In den
meisten Fällen ist noch dazu ∂B schwach besetzt. Wie in (2.24) gezeigt wurde, trägt der
Term (A(t)) T y jedoch gar nicht zum Gradienten ∇f bei. Eine genaue Analyse zeigt, daß
für das Modell (2.27) gilt
wobei die Matrix TF gemäß
u T TF v :=
+
P ⊥ B y
F(t) + F ′ (t)s 2 = F(t) + A(t)[s]y 2 + s T TF s,
(A[u]) T T
y (A[v]) T
y = F T (∂B[u]) B + B +T T l
(∂B[v]) F ∀u, v ∈ R
definiert ist. Der Beitrag des Terms (A[s]) T y zur Hesse-Matrix ∇2 f des reduzierten Funktionals
ist TF , dieser ist aber von der Größenordnung O F 2
. Er ist somit für kleines F
kleiner als der beim Gauß-Newton-Verfahren ohnehin weggelassene Term S = F ◦ F ′′ . Entsprechend
der Gauß-Newton-Philosophie wird der Term TF daher ebenfalls vernachlässigt.
Dies führt auf das vereinfachte Modell
(2.28)
mit
(2.29)
µK(t + s) := 1
2
F(t) + JK(t)s
2
JK(t)s := A(t)[s]y = − I − B(t)B(t) + (∂B(t)[s]) B(t) + y.