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42 Kapitel 2. Univariate Splines
Für einen Vergleich zwischen dem diskretisierten Golub/Pereyra-Modell und dem Kaufman-Modell
sind sowohl die Kosten der linearen Algebra als auch die Approximationsqualität
zu beachten. Letztere ist vergleichbar, wie numerische Tests verschiedener Autoren
zeigen. Die Kosten der linearen Algebra hängen sehr stark von der Matrix B oder ihrer
Regularisierung Bµ ab. Falls die Matrix vollbesetzt ist, so ist i. allg. das Kaufman-Modell
billiger, da die l zusätzlichen Quadratmittelprobleme mit verschiedenen Systemmatrizen des
Golub/Pereyra-Modells durch l Quadratmittelprobleme mit verschiedenen rechten Seiten,
aber derselben Matrix ersetzt werden. Andererseits ist das diskretisierte Golub/Pereyra-
Modell wesentlich einfacher zu implementieren, da es die Feinstruktur vernachlässigt und
lediglich Code zur Berechnung der Residuumsfunktion F(t) benötigt wird.
Zum Vergleich mit existierenden Algorithmen zur Berechnung von Splines mit freien
Knoten, welche stets den Approximationsfall, d. h. µ = 0, betrachten, haben wir eigens Algorithmen
für diesen Fall implementiert. Dabei ergeben sich wesentliche Vereinfachungen. Die
entsprechenden Modelle heißen RAP-Ka-ED (reduced approximation problem, Kaufman model,
exact derivatives) bzw. RAP-GP-OD (reduced approximation problem, Golub/Pereyra
model, outer discretization).
Leider können wir an dieser Stelle nicht auf den sehr interessanten Aspekt der optimalen
Wahl des Glättungsparameters µ eingehen. In den Beispielen wurde µ interaktiv bestimmt.
Eine Standardmethode zur optimalen Wahl aus statistischer Sicht besteht in der Minimierung
des GCV-Funktionals, siehe [Wah90] und [Eub88] sowie [Wah82] für den restringierten
Fall. Betrachtet man die Aufgabe als Regularisierung eines diskreten schlechtgestellten Problems,
so kommt die L-curve method, siehe [Han92], in Frage.
2.5.4 FREE – Ein Programm zur Berechnung von Splines mit freien
Knoten
Die Algorithmen dieses und des nächsten Kapitels wurden in einem umfangreichen Programmpaket
FREE zur Berechnung und Visualisierung von Splines mit freien Knoten implementiert.
Die Quellen des Programms – etwa 14000 Zeilen Pascal-Quelltext – stehen
zusammen mit einigen Testdaten zur freien Verfügung 1 . Eine ausführliche Beschreibung
findet man in [Sch96].
Da die Bandstruktur der beteiligten Matrizen vollständig ausgenutzt wird, sind die
Anforderungen an Speicherplatz und Rechenzeit relativ gering. Besonders bei Verwendung
des regularisierenden Glättungsterms ist der Algorithmus sehr robust und wurde bereits an
realen Daten erfolgreich eingesetzt.
2.6 Numerische Tests
Dieser Abschnitt enthält einige Beispiele aus der Literatur, welche die Leistungsfähigkeit des
entwickelten Verfahrens zeigen sollen. Alle Testrechnungen wurden auf einem Pentium-PC in
IEEE double Arithmetik mit einer relativen Maschinengenauigkeit von macheps = 2.2 E-16
durchgeführt. Es wurden die Abbruchkriterien aus Tabelle 2.1 mit εt 0 = εt1 = εt2 = εt5 =
1.0 E-10, εt 3 = 1.0 E-06 und εt4 = 1.0 E-03 verwendet. Man beachte, daß diese ziemlich harten
Kriterien ausschließlich für Testzwecke verwendet wurden. In realen Anwendungen würde
man etwa εt 3 = 10−2 . . . 10−3 wählen. Zur Sicherung der Anordnungsbedingungen der freien
1 http://www.math.tu-dresden.de/~schuetze/free.zip