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2.6 Numerische Tests 47
2.6.3 Ein Beispiel von Hu
Wir möchten diese zweistufige Strategie anhand eines Beispiels illustrieren, welches wir Hu
[Hu93] entnommen haben. Wir berechnen die rationale Funktion g mit g(x) = 10x/(1 +
100x 2 ) an m = 90 äquidistanten Punkten innerhalb des Intervalls [−2, 2]. Im Gegensatz
zu Hu, welcher exakte Daten betrachtet und die .∞-Norm verwendet, betrachten wir
verrauschte Daten, indem wir mittels Pseudozufallszahlen {ɛi} mit −0.05 ≤ ɛi ≤ 0.05 die
gestörten Meßwerte yi = g(xi) + ɛi, i = 1, . . . , m erzeugen.
Wir wollen diese Daten durch einen glättenden Spline der Ordnung k = 5 mit einer
Ordnung r = 2 im Glättungsterm approximieren. Als Glättungsparameter µ benutzen wir
µ = 1.0 E-10, die vorgegebene Schranke für den Quadratmittelfehler F sei ∆ = 0.3.
Die Approximation wird mit l = 15 äquidistanten inneren Knoten gestartet, welche
jedoch nicht akzeptabel sind. Daher führen wir zu Beginn eine vorgeschaltete Optimierung
der Knoten durch und erhalten die Approximation in Abbildung 2.3. Diese Knotenfolge
wird als Ausgangspunkt für die erste Stufe des Knotenreduktionsalgorithmus benutzt. Wir
erhalten einen Spline mit l = 12 inneren Knoten. Der Wechsel zur zweiten Stufe ergibt
eine weitere Reduktion auf l = 5 innere Knoten. Abbildung 2.4 zeigt die abschließende
Knotenfolge und den zugehörigen Spline. Die Ergebnisse des Knotenreduktionsalgorithmus
sind in Tabelle 2.4 zusammengefaßt. Bei der Optimierung der Knoten haben wir das Modell
RSP-GP-OD benutzt.
äquidistante innere Knoten n = 20 F = 5.3641288 E-01
l = 15 y − Bα = 5.3641269 E-01
optimierte Knotenfolge n = 20 F = 2.2395534 E-01
(Abb. 2.3) l = 15 y − Bα = 2.2395367 E-01
Knotenreduktionsalgorithmus, Stufe I n = 17 F = 2.6486235 E-01
l = 12 y − Bα = 2.6486158 E-01
Knotenreduktionsalgorithmus, Stufe II n = 10 F = 2.7195137 E-01
(Abb. 2.4) l = 5 y − Bα = 2.7194998 E-01
Tabelle 2.4: Beispiel von Hu: Knotenreduktionsalgorithmus
Die gleiche Prozedur haben wir mit dem Kaufman-Modell RSP-Ka-ED durchgeführt.
Hier führt der vorgeschaltete Optimierungsalgorithmus zu einer Knotenfolge, dessen Quadratmittelfehler
etwas größer ist, nämlich F = 2.2486127 E-01. Trotzdem wurde die
Anzahl der inneren Knoten in der ersten Stufe auf l = 9 reduziert, der Fehler beträgt
F = 2.7767981 E-01. In der zweiten Stufe erreichen wir ebenfalls l = 5 innere Knoten und
den gleichen Fehler wie mit dem Modell RSP-GP-OD. Abschließend sei bemerkt, daß die
MATLAB-Routine CONSTR bei diesem Beispiel abbricht, da die Anordnungsnebenbedingungen
zwischenzeitlich nicht erfüllt sind. Es zeigt sich insbesondere, daß die MATLAB-Routine
relativ empfindlich bei der Verwendung des absoluten Distanzmaßes reagierte, während sich
unser Algorithmus sehr robust verhielt. Dies zeigt, daß wir tatsächlich einen Algorithmus
benötigen, welcher nur mit zulässigen Punkten arbeitet.
Das letzte Beispiel zeigt einen wesentlichen Vorteil der kombinierten Knotenreduktionsund
Optimierungsstrategie: Der erhaltene Spline reproduziert nicht nur die Daten innerhalb
des Fehlerniveaus mit l = 5 an Stelle von l = 15 inneren Knoten, sondern er vermeidet auch
das sog. „Overfitting“ durch eine zu große Anzahl von Parametern. Die reduzierte Anzahl
von Freiheitsgraden bewirkt eine Art Regularisierung durch Dimensionsreduktion, siehe