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4.3 Bivariate Tensorprodukt-Splines mit freien Knoten 95
Sei (t 1∗ , t 2∗ ) eine globale Minimumstelle des reduzierten Problems in Ω1 × Ω2 und sei
Aopt (t1∗ , t2∗ ) = B1 (t1∗ ) + Z B2 (t2∗ ) +T . Dann gilt f (t1∗ , t2∗ , Aopt (t1∗ , t2∗ )) = f (t1∗ , t2∗ ).
Angenommen es existieren t1† , t2† , A † mit t1† ∈ Ω1, t2† ∈ Ω2, so daß f t1† , t2† , A † <
f (t1∗ , t2∗ , Aopt (t1∗ , t2∗ )). Für alle (t1 , t2 ) gilt f(t1 , t2 ) ≤ f (t1 , t2 , A), also
f
t 1† , t 2†
≤ f
t 1† , t 2† , A †
< f (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ )) = f (t 1∗ , t 2∗ )
im Widerspruch zur Annahme, daß (t 1∗ , t 2∗ ) eine globale Minimumstelle des reduzierten
Problems in Ω1 × Ω2 ist. Folglich ist (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ )) eine globale Minimumstelle des
vollständigen Problems in Ω1 × Ω2.
(ii) Sei (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) eine globale Minimumstelle des vollständigen Problems für (t 1 , t 2 ) ∈
Ω1×Ω2 und sei Aopt (t 1∗ , t 2∗ ) = B1 (t 1∗ ) + Z B2 (t 2∗ ) + T . Es gilt f (t 1∗ , t 2∗ ) ≤ f (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ).
Nach Definition des reduzierten Funktionals folgt f (t 1∗ , t 2∗ ) = f (t 1∗ , t 2∗ , Aopt (t 1∗ , t 2∗ )) ≤
f (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ). Da (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) eine globale Minimumstelle ist, gilt das Gleichheitszeichen,
d. h.
f (t 1∗ , t 2∗ ) = f (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) .
Gibt es ein eindeutiges A ∗ unter allen minimierenden Paaren von f (t 1 , t 2 , A), so muß gelten
A ∗ = Aopt (t 1∗ , t 2∗ ).
Wir nehmen nun an, daß (t 1∗ , t 2∗ ) keine globale Minimumstelle des reduzierten Problems
auf Ω1 × Ω2 ist, d. h. es existiert t1† , t2† ∈ Ω1 × Ω2, so daß f t1† , t2† < f (t1∗ , t2∗ ). Mit
t1† +
Z t2† + T gilt dann
A † = B1
f
B2
t 1† , t 2†
= f t 1† , t 2† , A †
< f (t 1∗ , t 2∗ ) = f (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ )
im Widerspruch zur Voraussetzung, daß (t 1∗ , t 2∗ , A ∗ ) eine globale Minimumstelle des vollständigen
Problems ist.
Aus der Beweisführung erkennt man unmittelbar, daß sich die Aussage des Theorems
auch auf Probleme mit nichtlinearen Gleichheitsnebenbedingungen s 1 (t 1 ) = 0 und s 2 (t 2 ) =
0 übertragen läßt.
Den Herleitungen der Fréchet-Ableitungen entnimmt man, daß sich die von Kaufman
ausgenutzte Struktur auf den bivariaten Fall überträgt.
4.3 Bivariate Tensorprodukt-Splines mit freien Knoten
Nach diesen Vorarbeiten können wir die Reduktionstechnik unmittelbar auf das vollständige
Glättungsproblem (4.11), (4.9) anwenden. Durch Stetigkeitsargumente analog dem univariaten
Fall ohne Nebenbedingungen erhalten wir zunächst
Theorem 4.2 (Existenz einer Lösung des reduzierten Glättungsproblems).
Die Menge der zulässigen Knoten (t 1 , t 2 ) ∈ R l1 × R l2 : C1t 1 − h 1 ≥ 0, C1t 1 − h 1 ≥ 0 sei
nichtleer. Für feste r1 ∈ {0, . . . , q1}, 0 ≤ q1 < k1 und r2 ∈ {0, . . . , q2}, 0 ≤ q2 < k2 gelte:
(V 1) Die Knoten erfüllen die Bedingung τ 1
j1
τ 2
j2+k2−q2 (j2 = q2 + 1, . . . , n2).
< τ 1
j1+k1−q1 (j1 = q1 + 1, . . . , n1) und τ 2
j2 <
(V 2) Die Regularitätsbedingung m1 ≥ r1, µ1 > 0 und m2 ≥ r2, µ2 > 0 ist erfüllt.