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2.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems 33
(b) Wenn (α ∗ , t ∗ ) eine globale Minimumstelle von FSP ist, so ist t ∗ globale Minimumstelle
von RSP. Es gilt f(t ∗ ) = f(α ∗ , t ∗ ) und (2.38).
Beweis. Voraussetzung (V1) sichert die Existenz der Matrixfunktionen B(.) und Sr(.). Wegen
(V2) hat die Systemmatrix Bµ(t) ∈ R m+n−r,n nach Lemma 2.5 Vollrang n für alle
zulässigen t. Unter Verwendung von (V1) und (V3) erhalten wir aus Korollar 2.8 die Differenzierbarkeit
der B-Splines und damit der Matrixfunktion B(.) bez. der freien Knoten.
Die Differenzierbarkeit der Glättungsmatrix Sr(.) folgt unmittelbar aus der Definition. Die
Systemmatrix Bµ(.) ist also eine Fréchet-differenzierbare Matrixfunktion mit konstantem
Rang, erfüllt also alle Voraussetzungen von Theorem 2.1 bzw. 2.2. Die Aussage folgt durch
unmittelbare Anwendung dieser Sätze. Dabei beachte man, daß die Menge Ω den gesamten
zulässigen Bereich t ∈ R l : Ct − h ≥ 0 einschließt und daß α ∗ in Theorem 2.1 (b) wegen
des Vollrangs von Bµ(.) eindeutig ist.
Bemerkung 2.1. (i) Im Fall der Splineapproximation muß (V2) durch die Bedingung
(V 2 ′ ) Die Schoenberg-Whitney-Bedingung (2.3) ist für alle t aus einer offenen Umgebung
Ω ∗ von t ∗ erfüllt.
ersetzt werden. Man erhält dann nur lokale Aussagen bez. dieser Umgebung und die
globale Glattheit des reduzierten Funktionals ist nicht gesichert.
(ii) Eigentlich ist nur die Bedingung #τ p(j) ≤ k − 2 (j = 1, . . . , l) für die Differenzierbarkeit
nach den Knoten an allen Stellen t erforderlich. Der Einfachheit halber, um
einheitlich die Formel (2.37) verwenden zu können, beschränken wir uns auf #τ p(j) = 1
und demzufolge k ≥ 3. Für die Fälle k = 1, 2 existieren spezielle Verfahren zur L2-
Approximation von stetigen Funktionen, siehe z.B. [LW91] und [Bai94], welche sich
sinngemäß auf die l2-Approximation übertragen lassen. Loach und Wathen berichten
jedoch, daß selbst im Fall k = 2 eine direkte, und somit teure Suche nach einem
guten Startpunkt auf einem genügend feinen Gitter nötig ist, um einen robusten Algorithmus
zu erhalten. Baines betrachtet unstetige stückweise konstante und lineare
L2-Approximationen.
(iii) Läßt man zusammenfallende Knoten zu, so erhält man Mannigfaltigkeiten mit Spitzen,
d. h. die Ableitungen nach den Knoten sind bei mehrfachen Knoten nicht mehr
regulär. Man muß dann mit Tangentialkegeln [Cro79] bzw. erweiterten Tangentialkegeln
[Mul92] arbeiten. In [Cro79] findet man dazu ein numerisches Verfahren für den
Fall der L2- und L∞-Approximation von Funktionen.
Theorem 2.6 zeigt, daß der Übergang vom vollständigen zum reduzierten Glättungsproblem
keine stationären Punkte erzeugt und daß die Lösung des Originalproblems nicht
ausgeschlossen wird. Wir werden uns daher im weiteren darauf konzentrieren, das reduzierte
Problem numerisch zu lösen.
2.5 Numerische Lösung des reduzierten Problems
Das reduzierte Problem ist ein nichtlineares Quadratmittelproblem mit linearen Ungleichheitsnebenbedingungen.
Es besitzt nur l unabhängige Variable gegenüber n + l beim Ausgangsproblem,
ist jedoch von einer größeren Komplexität. Bei der Auswahl eines numerischen
Verfahrens zur Lösung dieses Problems ist darauf zu achten, daß