pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

Kapitel 1
Einleitung
Although this may seem a paradox,
all exact science is dominated by the
idea of approximation.
Bertrand Russell
Die Approximation von Daten und Funktionen ist von großer praktischer Bedeutung in der
Mathematik und den Naturwissenschaften. In den letzten Jahren rückte dabei die formerhaltende
(shape preserving) Approximation besonders in den Mittelpunkt. Diese Approximation
ist nicht nur aus innermathematischer Sicht heraus interessant: In vielen Anwendungen
ist die Einhaltung bestimmter Nebenbedingungen wie Nichtnegativität, Monotonie oder
Konvexität wesentlich für ein physikalisch oder technisch sinnvolles Ergebnis.
Gegeben seien Daten {(xi, yi) : i = 1, . . . , m}, wobei {xi} streng monoton steigende
Abszissen mit a ≤ x1 < · · · < xi < · · · < xm ≤ b und {yi} fehlerbehaftete Meßwerte einer
unbekannten glatten Funktion g ∈ W q
2 [a, b] sind, d. h. yi = g(xi) + ɛi, i = 1, . . . , m. Die
zufälligen Fehler ɛi seien stochastisch unabhängig und identisch verteilt.
Die Funktion g bzw. die Daten {xi, yi} sollen durch eine Funktion s aus einem geeignet
gewählten Teilraum S ⊂ W q
2 [a, b] approximiert werden. An diese Funktion s stellen wir
folgende Forderungen:
(i) Die Funktion und ihre Ableitungen können leicht ausgewertet werden.
(ii) Die Funktion kann durch wenige Parameter beschrieben werden (Datenreduktion!).
(iii) Die Funktion ist glatt und repräsentiert die Funktion g innerhalb des Fehlerniveaus
der Daten.
(iv) Die Funktion ist eine formerhaltende Approximation, z. B. s (p) (x) ≥ 0 für alle x ∈
[a, b], falls diese Eigenschaft von g bekannt ist.
Unter den Voraussetzungen E ɛi = 0 und Var ɛi = σ2 > 0, i = 1, . . . , m, an die Fehler stellt
der Approximationsterm
ϕ(s) := 1
m
[yi − s(xi)]
2
2 ,
i=1
1