pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

Kapitel 3
Univariate Splines mit
Ungleichheitsnebenbedingungen an
Ableitungen
3.1 Einleitung
In diesem Kapitel untersuchen wir erneut die Approximation fehlerbehafteter Meßwerte
yi = g(xi) + ɛi (i = 1, . . . , m) einer unbekannten glatten Funktion g ∈ W q
2 [a, b]. Diese
Meßwerte wollen wir in bewährter Weise durch einen Spline s ∈ Sk,τ approximieren, dessen
Parameter durch Minimierung des Schoenberg-Funktionals
m 1
[yi − s(xi)]
2
2 + µ 1
b
s
2
(r) 2 (x) dx
i=1
bestimmt werden.
In Erweiterung der Problemstellung aus Kapitel 2 seien jetzt zusätzliche Informationen
über die Form der Funktion g bekannt, z.B. g (p) (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] mit einer vorgegebenen
Ableitungsordnung p ∈ {0, . . . , q}. Später werden wir noch allgemeinere Nebenbedingungen
an Ableitungen zulassen. Es sollen sich also bestimmte geometrische Eigenschaften
der Funktion g auf die Approximation s übertragen.
Die formerhaltende Approximation ist von großer praktischer Bedeutung: In einigen Anwendungen
führt erst die Einhaltung bestimmter Nebenbedingungen zu physikalisch oder
technisch sinnvollen Lösungen (nichtnegative Drücke, monoton wachsende Konzentrationen
bei einem chemischen Prozeß usw.), in anderen Anwendungen können Restriktionen an
Ableitungen zur Vermeidung unerwünschter Oszillationen benutzt werden (obere Schranken
für die Krümmung). In den letzten zwei Jahrzehnten erschien eine sehr große Anzahl
von Arbeiten zur formerhaltenden Interpolation und -approximation, siehe etwa die Überblicksarbeiten
[Gre91], [Utr91] und die Monographie [Spä95]. Basierend auf einem Variationszugang
untersuchen Micchelli/Utreras [MU88], [MU91] Existenz und Eindeutigkeit von
Splineinterpolation und -approximation in einer konvexen Teilmenge eines Hilbertraums.
Elfving/Andersson [EA88] betrachten den Fall r = 2 und Konvexitätsnebenbedingungen
s ′′ (x) ≥ δ(x), δ gegeben.
Während diese Autoren den Variationszugang bevorzugen, wird in den folgenden Arbeiten
direkt von Splines als Ansatzfunktionen ausgegangen: Dierckx [Die80] betrachtet
51
a