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3.4 Splineglättung mit Nebenbedingungen 67
(V 1) Die Knoten erfüllen die Bedingung τj < τj+k−q (j = q + 1, . . . , n).
(V 2) Die Regularitätsbedingung m ≥ r und µ > 0 ist erfüllt.
(V 3) Die freien Knoten t∗ sind einfache Knoten, d. h. #τ ∗ p(j) = 1 (j = 1, . . . , l). Es gilt
k ≥ 3.
(V 4) Die Nebenbedingungen L ≤ Dp(t)α ≤ U erfüllen die strikte Konsistenzbedingung
L < U.
(V 5) Die Lagrange-Parameter u ∗ von Subproblem (A) an der Stelle α(t ∗ ) sind strikt komplementär.
Dann gelten für das vollständige restringierte Glättungsproblem FCSP (3.9), (3.10) und das
reduzierte restringierte Glättungsproblem RCSP (3.19), (3.20) die folgenden Beziehungen:
(i) Wenn (α ∗ , t ∗ ) eine globale Minimumstelle des Ausgangsproblems FCSP ist, dann erfüllt
α ∗ die notwendigen (und für quadratische definite Probleme auch hinreichende)
Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für das Subproblem (A), t ∗ ist eine globale
Minimumstelle des reduzierten Problems RCSP und es gilt f(t ∗ ) = f(α ∗ , t ∗ ),
α ∗ = α(t ∗ ).
(ii) Wenn t ∗ die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für das reduzierte
Problem RCSP erfüllt, so erfüllt (α(t ∗ ), t ∗ ) die notwendigen Optimalitätsbedingungen
erster Ordnung für das Ausgangsproblem FCSP.
Beweis. Sei t ∗ eine zulässige Knotenfolge, d. h. Ct − h ≥ 0.
1.Differenzierbarkeit der Problemfunktionen
Aus den Voraussetzungen (V1) und (V3) folgt die zweimalige stetige Differenzierbarkeit
von
f(α, t) = 1
2
y
0
−
B(t)
√ µSr(t)
α
bezüglich α sowie die stetige Differenzierbarkeit des Gradienten
∇αf(α, t) = −
B(t)
√ µSr(t)
T y
0
−
2
B(t)
√ µSr(t)
α
bezüglich t in einer Umgebung U ∗ 1 von t∗ .
2.Differenzierbarkeit der Nebenbedingungen
Die Nebenbedingung Ct − h ≥ 0 ist stetig differenzierbar bez. t. Die Nebenbedingung
L ≤ Dp(t)α ≤ U ist wegen (V1) und (V3) stetig differenzierbar bez. α und t in einer
Umgebung U ∗ 2 von t∗ .
3.Voraussetzungen an Subproblem (A)
(a) Unter der Voraussetzung (V2) hat die Systemmatrix Bµ von Subproblem (A) Vollrang
n für alle zulässigen Knotenfolgen t. Das quadratische Optimierungsproblem hat daher
eine positiv definite Hesse-Matrix und besitzt folglich über dem nichtleeren zulässigen
Bereich L ≤ Dp(t)α ≤ U eine eindeutig bestimmte Lösung α(t). Es gelten die
hinreichenden Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung an der Stelle α(t).