pdf-file, 2.03 Mbyte - Torsten Schütze

90 Kapitel 4. Bivariate Tensorprodukt-Splines
Hierbei seien B1 und B2 beliebige glatte Matrixfunktionen und die verbleibenden Größen
Z, C1, C2, h 1 sowie h 2 konstante Vektoren und Matrizen. Die variable Projektion, d. h. die
Optimallösung Aopt von (4.13) bei festen t 1 und t 2 , ist gegeben durch
(4.15) Aopt(t 1 , t 2 ) := B1(t 1 ) + Z B2(t 2 ) + T .
Reduziertes Problem
(4.16) f(t 1 , t 2 ) := 1
2 F(t1 , t 2 ) 2
F
→ min
t 1 ,t 2
mit F(t1 , t2 ) := F(t1 , t2 , Aopt(t1 , t2 )) = P⊥ ZPB2 unter den Nebenbedingungen (4.14). Eine
B1
äquivalente Darstellung des reduzierten Funktionals f(t 1 , t 2 ) ist offensichtlich durch
f(t 1 , t 2 ) = 1
2
B1(t 1 )B1(t 1 ) + Z B2(t 2 ) +T B2(t 2 ) T − Z
2
F
1
=
2
PB1ZP⊥
B2
gegeben.
Wir wollen nun in Verallgemeinerung der Ergebnisse von [GP73] untersuchen, inwieweit
vollständiges und reduziertes Problem äquivalent sind. Im folgenden benötigen wir oft die
Fréchet-Ableitung von gewissen Funktionalen, welche durch die Frobeniusnorm definiert
sind. Es bezeichne ∂ den Operator der Fréchet-Ableitung.
Lemma 4.1 (Fréchet-Ableitungen von Frobeniusnormen).
Sei A : Rl → L (Rn , Rm ), x ∈ Rl → A(x) ∈ Rm,n eine Fréchet-differenzierbare Matrixfunktion
und sei
f : R l → L (R) , x ∈ R l → f(x) := 1
2 A(x)2 F ∈ R.
Dann gilt
∂f(x)[∆x] = tr (∂A(x)[∆x]) T
A(x) = tr A(x) T
(∂A(x)[∆x])
T T
= tr (∂A(x)[∆x]) A(x) = tr A(x) (∂A(x)[∆x]) für alle ∆x ∈ R l .
Beweis. Bekanntlich gilt f(x) = 1
2 A(x)2 F
f(x + ∆x) = 1
2 tr
A(x + ∆x) T A(x + ∆x)
= 1
2 tr A(x) T A(x) . Man hat
= 1
2 tr (A(x) + ∂A(x)[∆x] + O(∆x)) T (A(x) + ∂A(x)[∆x] + O(∆x))
und wegen der Linearität der Spur
f(x + ∆x) − f(x) = 1
2 tr
2
F
(∂A(x)[∆x]) T A(x) + A(x) T (∂A(x)[∆x]) + O(∆x)
Für quadratische Matrizen B gilt tr(B) = tr(B T ), also wegen (∂A(x)[∆x]) T A(x) ∈ R n,n
schließlich
f(x + ∆x) − f(x) = tr (∂A(x)[∆x]) T
A(x) + O(∆x) , d. h.
∂f(x)[∆x] = tr (∂A(x)[∆x]) T
A(x) = tr A(x) T
(∂A(x)[∆x]) .
Aus der äquivalenten Darstellung f(x) = 1
analoger Weise den restlichen Teil der Behauptung.
2 A(x)2 F
.
= 1
2 tr A(x)A(x) T erhält man in