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78 Kapitel 3. Univariate Splines mit Nebenbedingungen
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
920 940 960 980 1000 1020 1040 1060 1080
Abbildung 3.5: Titanium Heat Data: CONCON (—), RCAP-Ka-ED (- - -), x ∈ [925, 1075]
eines Fehlers in der Knotenplazierungsstrategie bei diesem Beispiel nach zwei Knoten mit
einer Fehlermeldung abbricht, da „adding one or more knots will not further reduce the
value of SQ (sum of squared residuals)“. Vom Autor P. Dierckx ist eine korrigierte Version
erhältlich.
Verkleinert man in dem Titan-Beispiel schrittweise die obere Schranke S, um für verschiedene
n die optimale Lage der Knoten zu bestimmen, so liefert CONCON selbst nach
sehr langer Zeit (mehrere Tage) keine Lösung. Grund dafür scheint der Algorithmus zur Lösung
des zugrundeliegenden quadratischen Optimierungsproblems, die Theil/van de Panne-
Prozedur, zu sein.
3.6.2 Arctan-Daten
In einem zweiten Beispiel möchten wir die Splineglättung durch monotone Splines mit
freien Knoten illustrieren. Wir betrachten Daten, welche durch Auswertung der Funktion
g(x) = arctan(10x) an m = 41 äquidistanten Punkten xi im Intervall [−10, 10] entstanden
sind. Unter Benutzung von Pseudozufallszahlen ɛi, −0.075 ≤ ɛi ≤ 0.075 erzeugen wir die
gestörten Werte yi = g(xi)(1 + ɛi), i = 1, . . . , m.
Wir approximieren diese Daten durch n = 8 B-Splines der Ordnung k = 4 und fordern,
daß der Spline s monoton in [−10, 10] ist, d. h.
L = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) T
U = (+∞, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞) T
Wir wählen l = 4 äquidistante innere Knoten als Startpunkt unseres Verfahrens. Die Tabellen
3.3 und 3.4 zeigen die Ergebnisse der Splineglättung und Approximation. Im Fall der
Glättung haben wir µ = 1.0 E-03 und r = 2 verwendet.